20 de diciembre de 2012

Vacaciones de Navidad - Weihnachtsferien


Fractal navideño o triángulo de Sierpinski a mano alzada
para recordar que en lo pequeño hay también mucha, mucha alería

Freihand Fraktal-Weihnachtsbaum oder Sierpinski-Dreieck  
um daran zu erinnern, dass im Kleinen auch sehr viel Freude steckt

Os deseo una feliz Navidad, que lo paséis muy bien y una buena entrada en el 2013. 
Nos volvemos a ver con ánimos renovados a partir del 7 de enero.

Habt viel Spaß und fängt frischen Mutes das Neue Jahr an.
Ab dem 7. Januar bin ich wieder mit meinem nachmittäglichen Nachhilfeunterricht für euch da.

Dar la vuelta a las cosas con humor - - - - - - - - - - - - - - - Die Sachen mit Humor verdrehen - - - - - - - - - - - - - - - - -


Banda de Moebius explicada en es.wikipedia
Möbiusband erklärt bei de.wikipedia Banda
La banda de Moebius es un cuerpo curioso que se analizó por primera vez matemáticamente en 1858 y que presenta unas propiedades llamativas: es una superficie con una sola cara y un solo borde.
Por ello, las hormigas de M.C. Escher la pueden recorrer completamente por los dos lados andando siempre paralelamente a un borde, sin tener que cruzarlo.
Pero además de sus aplicaciones en la técnica e incluso navideñas, podrás comprobar aquí que presenta una faceta de utilidad humorística.

Dibujo de M.C. Escher
Zeichnung von M.C. Escher











Das Möbiusband ist ein merkwürdiger Körper, der zum ersten Mal im Jahr 1858 matematisch beschrieben wurde und besondere Merkmale aufweißt: ist eine zweidimensionale Struktur, die nur eine Kante und eine Fläche hat.
Deswegen können auch die Escherameisen immer am linken Rand entlang die ganze Bandfläche erforschen.
Aber nicht nur küstlerische und technische Anwendungen hat das Möbiusband. Hier kannst Du auch eine humorvolle Facette entdecken.
Banda de Moebius como vía de tren de juguete
Möbiusband als flexibler Zuggleis


Pruebas y manualidades sencillas con una cinta de Moebius de cartulina o papel
Leichte Untersuchungen und Basteleien mit einem Möbiusband aus Karton oder Papier


Necesitas: una hoja grande de cartulina o papel (blanco), un lápiz o bolígrafo, tijeras y pegamento
Du brauchst dafür: ein Bogen (weißes) Papier oder dünnen Karton, Bleistift oder Kulli, Schere und Klebstoff









Corta 2 tiras de la cartulina de forma que tengan, p. ej., 6 cm de ancho y 50 cm de largo.
Coje una de las tiras y colorea o decora cada lado con un color distinto. Pega ahora sus extremos a fin de obtener un aro. Corta el aro a lo largo de su eje por la mitad. ¿Qué has obtenido? ¿2 aros más delgados con el lado interno decorado con otro color que el externo? ¡Perfecto! Pasemos a la segunda tira.

Schneide 2 lange Streifen von dem Karton ab, so dass sie z. B. 6 cm breit und 50 cm lang sind.
Nimm den einen Streifen und bemale die zwei Bandseiten mit zwei verschiedene Farben. Kleb die Enden zusammen, so dass ein Ring ensteht.
Schneide den Ring dann längs der Mitte durch.
Was hast Du jetzt? Zwei schmalere Ringe mit verschieden farbige Innen- und Außenseiten? Prima! Jetzt geht's weiter





Coje la otra tira y escribe en un lado esta frase peculiar (aunque te parezca exagerado) formando dos líneas de texto:
estudiar y estudiar
es mi pasión
Y en el otro lado de la tira, escribe con otro color estas otras 2 líneas:   
qué tostón
no hacer nada en vacaciones

Nimm den anderen Streifen und schreibe auf einer Seite, obwohl es dir komisch klingt, folgende zwei Textzeilen:          
lernen und lernen
ist meine Leidenschaft
Und auf der anderen Streifenseite, mit einer anderen Farbe:                
welch Langeweile
nichts in den Ferien tun



Coje la tira y da media vuelta a un lado antes de pegar los dos extremos para obtener un aro algo especial: una banda de Moebius.
Corta este aro, a lo largo de la banda, por la mitad.
¿Qué has obtenido ahora? ¡Lee el texto!
¡A que no te lo esperabas!

Nimm den beschrifteten Streifen und verdreh ein Ende einmal halb ( um 180º) bevor Du die zwei Enden zusammenklebst. Jetzt hast Du einen Möbiusband!
Schneide den verdrehten Ring (Möbiusband) längs der Mitte durch. Was hast Du jetzt?
Was ist mit dem Text passiert? Lese ihn mal!
Das hast Du bestimmt nicht erwartet!


Como has visto, sólo hay una superficie. También puedes comprobar que sólo hay un borde pasando el dedo a lo largo de un borde. Verás que no necesitas levantar el dedo para recorrer "los bordes".

Du hast nun  schon selber gesehen, dass das Möbiusband nur eine Fläche hat. Um zu prüfen, das es wirklich auch nur einen Rand gibt, kannst Du mit deinem Finger an Rand entlang fahren. Du brauchst den Finger keinmal abzuheben!


Se pueden obtener también otros efectos interesantes. por ejemplo, si en lugar de trazar una línea central, trazas dos líneas paralelas a la línea central y cortas luego la banda de Moebius a lo largo de una línea, puedes obtener ....(¡compruébalo!)

Man kann noch weitere interessante Effekte beobachten. Zum Beispiel, wenn man anstatt einer Mittellinie zwei zur Mittellinie parallele Linien einzeichnet und das Möbiusband dann längs einer  Linie aufschneidest, erhälst du ..... (?) 


Nota: las vacaciones de Navidad son para disfrutarlas, pero aprender nunca hace daño.
¡Os deseo unas felices fiestas navideñas
y buenas vacaciones de invierno!

Anmerkung: Die Weihnachtsferien sind da um sie zu genießen, aber etwas lernen tut nie weh!
Ich wünsche euch frohe Weihnachten 
und schöne Winterferien




16 de diciembre de 2012

Matetiempo de luces navideñas - - - - - - - - - - - - - - - - Denkspiel über Weihnachtslichter







































Después de ver las luces que decoran este año de forma más ahorrativa las calles de Sant Cugat, se me ha ocurrido la siguiente pregunta:

En un decorado navideño hay una tira de bombillas azules, rojas, amarillas y blancas. Si las amarillas se encienden cada 10 segundos, las rojas, cada 15 segundos, las azules, cada 18 segundos y las verdes, cada 20 segundos, ¿cada cuántos segundos estarán encendidos a la vez los cuatro tipos de bombillas encendidos?

Y durante una hora, ¿cuántas veces se encienden a la vez?




Nachdem ich gesehen habe, wie die Weihnachtsbeleuchtung dieses Jahres  schön und sparsam einige Straßen Sant Cugats verzieren, ist mir folgende Frage eingefallen:

Wenn die gelbe Lämpchen der Lichterkette einer Weihnachtsdekoration alle 10 Sekunden, die roten alle 15, die blauen alle 18 und die grünen alle 20 Sekunden aufblinken, alle wie viel Sekunden blinken alle Lämpchen gleichzeitig auf?

Und wie oft blinken sie gleichzeitig in einer Stunde?


Solución: intenta primero encontrarla por tu cuenta, luego puedes compararla con ESTA

Antwort: versuche erstmal sie selber zu finden, danach kannst Du sie mit DIESER vergleichen


Acertijo ante las fiestas - Adventsrätsel

A ver si me podéis ayudar.            
Tengo 21 cajitas de bombones navideños que me gustaría repartir equitativamente entre mis 3 sobrinos pequeños, pero resulta que no tienen todas la misma cantidad de bombones:
7 cajitas (paquetitos decorativos) tienen 10 gr de bombones, otras 7 tienen 5 gr de bombones y las siete restantes no contienen ningún bombón.
¿Es posible repartirlas de tal forma que cada uno de mis sobrinos tenga la misma cantidad de cajitas y bombones? ¿Cómo?

Könnt ihr mir mit diesem Verteilungsproblem helfen?
Ich habe 21 dekorative Bombon-Päckchen, die ich gleichmäßig unter meine 3 kleine Enkel verteilen möchte, aber die Päckchen haben nicht alle die selbe Bonbons-Menge:
7 davon beinhalten 10 gr Bonbons, weitere 7 nur 5 gr Bonbons und die 7 restlichen sind leere Päckchen.
Ist es möglich die Päckchen so zu verteilen, dass jeder meiner Neffen die selbe Anzahl Päckchen und gleiche Bonbons-Menge erhält? Wie?




Solución -> Ayuda (tras pensárselo un buen rato AQUÍ)

Lösung -> Hilfe anzeigen (nach langem Versuchen HIER)

8 de diciembre de 2012

Tarjeta fractal para hacer uno mismo, aprender y regalar - Fraktal-Pop-Up-Karte zum Lernen und Selbstbasteln



Los fractales son conocidos por su especial y sorprendente belleza y llaman la atención aunque no se conozcan todas sus características matemáticas.

Man spricht oft von der Schönheit der Fraktale und viele schätzen die ansprechende Bilder der Fraktale obwohl sie keine oder nur geringe matematische Kenntnisse über Fraktale haben.

Una característica llamativa de los fractales es que se pueden hacer tantos zooms como se quiera en una zona del fractal y siempre aparecen nuevos detalles. Los fractales son por tanto figuras geométricas complejas. En el caso de un círculo, por ejemplo, que no es un fractal sino un objeto de la geometría euclídea, podemos ir escogiendo zonas cada vez más pequeñas del mismo y obtenemos finalmente un trozo recto. Un trozito pequeño de un fractal matemático, en cambio, no puede reducirse a una recta, por muy pequeño que sea, porque siempre aparecen nuevos detalles. Los detalles de un fractal presentan además una propiedad característica: la autosemejanza, es decir, la figura que se obtiene al ampliar una zona (o hacer un zoom) es muchas veces una copia semejante de la figura de partida. Esto puede verse en este vídeo, que explora mediante sucesivos zooms una zona fronteriza del conjunto fractal de Mandelbrot, y comprobarse interactivamente (seleccionando con el ratón una zona a explorar) en este interesante Applet sobre este mismo conjunto fractal. Es un fractal muy conocido, cuyo nombre hace referencia al padre de la teoría sobre fractales, Benoit Mandelbrot (1924-2010), que empezó a desarrollarla a comienzos de la década de los años 60 del siglo pasado, destacando asimismo la presencia de fractales en la naturaleza.
Hay una diferencia importante entre los fractales matemáticos y los fractales que se encuentran en la naturaleza (brócoli, helechos, etc.) o los que se fabrican manualmente (como nuestra tarjeta fractal): el zoom repetitivo en las estructuras autosemejantes no puede hacerse indefinidamente, sino sólo hasta una determinada escala.

Eine tolle Eigenart der Fraktale ist, dass man beliebig oft einzoomen und immer wieder neue Details erkennen kann. Fraktale sind daher komplexe geometrische Figuren. Bei einem Kreis sieht man bei Betrachtung eines sehr sehr kleinen Ausschnittes eine Gerade. Ein mathematischer Fraktal hingegen mündet nie in eine einfache Figur wie eine Gerade. Die komplexe Details der Fraktale haben außerdem die Eigenschaft, dass sie oft selbstähnlich sind: Die Figur die man durch Einzoomen erhält, ist eine Kopie der Ausgangsfigur. Das wird in diesem farbvollen Video "Zoom in die Mandelbrotmenge" gezeigt und man kann es auch in diesem Apfelmänchen-Zoom-Applet überprüfen. Es ist anzumerken, dass die Mandelbrotmenge wegen seiner Form auch fraktales Apfelmännchen genann wird, dessen Vater der Mathematiker Benoit Mandelbrot (1924-2010) ist, der auch die Theorie über Fraktale zu Anfang der 60er Jahre des 20. Jahrhunderts aufgestellt und über Fraktale in der Natur geschrieben hat. Fraktale in der Natur (Beispiel: Broccoli Romanesco, Farnblatt) oder gebastelte dreidimensionale Fraktale (wie unsere Pop-Up-Karte) unterscheiden sich allerdings dadurch von den mathematisch idealisierten Fraktalen, dass bei ihnen das Zoomen nicht unendlich oft sondern nur in einem begrenzten Skalenbereich möglich ist. 
En el helecho fractal, en cada rama se repite el mismo esquema  por lo que la ampliación de una parte del original es muy similar al original. Pero el número de posibles ampliaciones en este fractal real es finito.
Beim Fraktal-Farn hat jeder Zweig immer die selbe Struktur. Deshalb erhält man bei der Vergrößerung eines Teils der Ausgangfigur wieder eine Figur, die der Ausgangsfigur änhlich ist. Man kann allerdings in 
diesem realen Fraktal nicht unendlich oft die selbe Struktur durch Vergrößerung erhalten.
Muchos fractales se generan por iteración (repetición de una operación matemática o geométrica): se aplica una operación determinada a un elemento (iniciador) de la figura de partida y esta operación (patrón de modificación llamado generador) se vuelve a aplicar a las partes similares al iniciador que pueda tener la figura resultante, y esto infinitas (fractal ideal matemático) o tantas veces como sea posible (fractal real).
Fractales clásicos generados por iteración son el copo de Koch, el árbol pitagoréico, la curva de Peano, etc., resumidos en esta página interactiva y explicados con algo más detalle matemático en esta página educativa del profesor de instituto Alfonso González. Este sistema de generación iterativo se utiliza también actualmente para crear por ordenador dibujos complejos para películas de animación y lo utilizaremos aquí para crear una tarjeta desplegable fractal.

Fraktale entstehen durch Iteration (Wiederholung einer Rechenvorschrift oder geometrischen Operation): Auf ein bestimmtes Element der Ausgangsfigur (auch Initiator genannt) wird eine Operation angewandt, die  dann nochmal auf ähnliche Elemente (verkleinerte Versionen des Initiators) der Ergebnissfigur angewandt wird, und dann nochmal und nochmal und so weiter.
Man erhält auf diese Weise bekannte klassische Fraktale wie die Kochsche Schneeflocke, der pythagoräischer Baum, die Hilbert-Kurve, usw. Die Iterationen führt man sehr leicht mit dem Computer aus und wendet deswegen  diese Vorgehensweise auch oft für Zeichentrickfilme an. Wir werden sie auch hier für das Basteln der Fraktal-Pop-Up-Karte benützen.


INSTRUCCIONES - ANLEITUNG





























































Tras aplicar 3 operaciones iterativas:
Nach 3 iterative Operationen:

1. Escoge una hoja de papel o cartulina rectangular (p. ej. de tamaño DIN A4) y dóblala transversalmente por la mitad. El rectángulo así obtenido es el elemento iniciador del proceso iterativo. Haz lo mismo con otra cartulina rectangular que será la cara externa de la tarjeta desplegable
1. Suche dir ein rechteckiges Blatt Papier oder Stück Tonkarton aus (z.B. mit dem DIN-A4-Format) und falte es quer in der Mitte. Das gefaltete Rechteck ist der Initiator des iterativen Fraktalerzeugungsverfahren. Falte ein gleichgroßes Stück Tonkarton, das die äußere Kartengestaltung bilden wird.

2. Utiliza unas tijeras para hacer 2 cortes desde el borde doblado hasta la mitad, que sean paralelos y separados cada uno de los bordes laterales más próximos por una distancia de un cuarto del ancho del rectángulo. Dobla a continuación el rectángulo interior de tal forma que el canto doblado coincida ahora con los cantos superiores.
2. Schneide zwei gerade Inzisionen von der Falzkante bis zur Rechteck-Mittellinie, so dass der Abstand zwischen seitliche Papierkante und nächstliegendem Einschnitt gleich 1/4 der Falzkantenlänge ist. Falte anschließend das kleinere Innenrechteck zur Hälfte und zieh die neue Falz mit etwas Druck nach.

3. Vuelve a hacer dos cortes paralelos en el rectángulo interno de forma que lleguen sólo hasta la mitad del misto y estén separados del canto lateral un cuarto de la longitud del largo del rectángulo interno. (el paso 2 o 3 es la operación generadora)
3. Schneide nochmal zwei gerade Inzisionen von der kleineren mittleren Falzkante bis zur Mittellinie des inneren Rechtecks, so dass der Abstand zwischen seitliche Rechteckseite und nächstliegendem Einschnitt wiederum 1/4 der inneren Falzkantenlänge beträgt. Schritt 2 (oder 3) ist die iterative Operation (, die auf die Initiator ähnliche Rechtecke angewandt wird.

4. Repite el paso 2 (la operación iterativa) tantas veces como te sea posible (depende del tamaño y grosor del papel escogido)
4. Wiederhole Schritt 2 (iterative operation) so oft wie möglich. Das hängt von der ausgesuchten Papier-Größe und -Stärke ab.

5. Deshaz todas las dobleces salvo la primera del rectángulo iniciador. Podrás observar un esquema de cortes autosemejantes (recuerda al conjunto fractal de Cantor).
5. Entfalte anschließend das Blatt bis zum Ausgangs-Initiator (das einmal gefaltete große Rechteck von Schritt 1). Du wirst jetzt eine Reihe Schnitte sehen können, die selbstähnlich sind. 

6. Dobla de nuevo los rectángulos interiores pero de tal forma que el borde doblado quede ahora en la parte interna, o sea, entre los 2 marcos rectangulares (si lo abres, obtendrás una serie de paralelepípedos autosimilares como los ilustrados en el último dibujo o fotografía).
6. Falte nun die Innenrechtecke so, dass die Falzkante nicht außerhalb sondern zwischen den 2 großen  Rechteckrahmen auf die oberen Kante zu liegen kommt (beim Aufklappen erhält man eine Reihe selbstähnlicher Quadern, wie das nächste Bild illustriert)

7. Para crear la tarjeta desplegable, pon algo de pegamento en las caras externas de los marcos rectangulares y pégalos a la otra cartulina del mismo tamaño que preparaste en el paso 1.
7. Um die Pop-Up-Karte zu erzeugen, versetze etwas Klebstoff auf die Außenseiten des rechteckigen Rahmens und klebe anschließend den Rahmen auf das zweite Tonkartonstück, das im Schritt 1 auch zur Hälfte gefaltet wurde.



Tarjeta desplegable obtenida aplicando 4 operaciones iterativas
Gebastelte Pop-Up-Fraktal-Karte bei der 4 iterative Operationen angewandt wurden

2 de diciembre de 2012

Adviento matemático, físico, astronómico y químico / Adventskalender mit Mathe, Astronomie, Physik und Chemie

He encontrado este año en Internet cinco calendarios de adviento (A1, B1, C1, D1, E1) con contenidos científicos y/o matemáticos, para jovenes y/o adultos, que creo que vale la pena que conozcáis:

Ich habe dieses Jahr fünf Adventskalender (A2. B2, C2, D2, E2) im Internet gefunden, die mathematische oder wissenschaftliche Inhalte für Groß und/oder Klein präsentieren und die ich sehenswürdig finde:

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A1) El calendario para secundaria de la organización matemática "nrich" en el que se plantea un problema o acertijo matemático detrás de cada ventana.
Los problemas están escritos en inglés, o sea, es también una buena ocasión para practicar este idioma. Otra posibilidad consiste en entrar el nombre del problema en el buscador de esta página de nrich y mirar luego la traducción máquina (imperfecta) que proporciona Google.



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A2) Mathe im Advent ist eine Initiative der Deutschen Mathematiker-Vereinigung und hinter jedes Türchen dieses Adventkalenders ist nicht Schokolade sondern eine spannende Matheaufgabe. Mitmachen ist außerdem interessant wegen der Gewinne (z.B. ein Laptop) Wer jetzt Lust bekommen hat, der sollte sich jetzt gleich hier registrieren. Die Teilnahme ist für alle kostenlos.



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B1) En el calendario de adviento químico de la "Royal Institution of Great Britain" hay detrás de cada ventana un científico que nos explica algo interesante sobre su elemento químico preferido.


B2) Im Adventskalender der Royal Institution of Great Britain führt jedes Türchen zu einem Wissenschaftler, der uns einiges Interressantes über sein chemisches Lieblings-Element erklärt.







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C1) En el calendario de adviento de la Asociación Max-Planck, cada ventana nos da al abrirla una imagen de la ciencia y explicaciones sobre el tema  que representa.

C2) Im Max-Planck-Adventskalender führen uns die Türchen zu Bildern aus der Wissenschaft und den Geschichten, die sich hinter den Bildern verbergen.


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D1) En el calendario de adviento del telescopio Hubble, cada ventana nos proporciona una nueva visión del cosmos.


D2) Im Hubble Telescope Advent Calendar führ uns jedes Türchen zu einem neuen Bild des Kosmos.




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E1) El calendario de adviento de la revista digital de divulgación matemática "Magazine Plus" en el que cada ventana nos lleva a una cuestión interesante de matemáticas y/o física que se aborda con cierta profundidad mediante un o incluso varios artículos. El tema del primero de diciembre de este año es: "Somos libres?"

E2) Im Adventskalender der populärwissenschaftlichen Zeitschrift  Magazine Plus führt jedes Türchen zu einem interressanten Thema der Mathematik und Physik, ab und zu sogar mit philosophische und historische Perspektiven. 
Das Thema des 1. Dezembers, das aus der Sicht der theoretischen Physik behandelt wird, ist die Frage: "I'm free ... aren't I?"