12 de agosto de 2013

Diversión con pasatiempos geométricos en la playa

Ahora que estamos en verano, tenemos una buena ocasión para divertirnos con algo de geometría en la playa. Se pueden hacer unos castillos de arena geométricos muy bonitos, como nos lo demuestra también Calvin Seibert.
http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/
Él los construye a lo largo de todo el año y suele combinar ingeniosamente diversas formas geométricas, pero también hace construcciones llamativas juntando únicamente paralelepípedos de arena bien compactos.
http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/
Al observar estas construcciones o intentar construir unas similares, surgen muchas preguntas que requieren algo de ingenio y ayudan a activar las neuronas mientras uno se divierte. Algunas de ellas son, por ejemplo, estas cuatro:
ACERTIJO 1
Para empezar, pueden hacerse unas construcciones sencillas de arena formadas a partir de la colocación ingeniosa de 6 paralelepípedos de más o menos el mismo tamaño. La colocación tiene que cumplir unas condiciones a la vez que se considerará lo siguiente:
Un paralelepípedo se une a otro para formar otro paralelepípedo u otro cuerpo escalonado más grandes siempre que una cara o parte de la cara de un paralelepípedo entra en contacto con una cara o parte de una cara de otro paralelepípedo. Si se tocan únicamente en una esquina o arista, entonces se considera que los paralelepípedos en cuestión no se unen entresí formando un nuevo cuerpo.
Caso 1: ¿Cómo pueden disponerse 6 paralelepípedos para que cada uno de ellos se una con dos y sólo dos paralelepípedos?
Caso 2: ¿Cómo pueden disponerse 6 paralelepípedos para que cada uno de ellos se una con tres y sólo tres paralelepípedos?
Caso 3: ¿Cómo pueden disponerse 6 paralelepípedos para que cada uno de ellos se una con cuatro y sólo cuatro paralelepípedos?
ACERTIJO 2
En la figura siguiente puede verse un paralelepípedo grande formado a partir de 6 paralelepípedos (cubos, si las aristas tienen todas la misma longitud) pequeños de arena. La pieza entramada de la esquina se construyó en primer lugar poniendo en contacto cuatro cubos de arena. Esta primera pieza puede haberse formado de 2 formas. ¿Cuáles son?


ACERTIJO  3
En los cuerpos platónicos se cumple una relación matemática entre número de esquinas E, número de caras C y número de aristas A.
Cuerpos platónicos

Esta relación se cumple de hecho también en otros cuerpos geométricos como, por ejemplo, paralelepípedos, prismas, pirámides, etc. 

¿Qué expresión matemática tiene esta relación entre esquinas, caras y aristas?
¿Se cumple también en un cuerpo con forma de escalera como el que se ilustra a continuación (o como en el que se puede ver en el castillo de arena de la primera fotografía)?


ACERTIJO 4
Se tienen únicamente dos cubos de plástico para coger y dosificar la arena necesaria: uno de tres litros y otro de cuatro litros. 

Sin embargo, se necesita disponer ahora de exactamente 1 litro de arena para construir un cubo de 10cm de arista. ¿Es posible conseguirlo con estos dos cubos? Y si es posible, ¿cómo?
Es decir, ¿qué habría que hacer para llegar a tener exactamente 1 litro de arena en uno de estos cubos de plástico?

4 de agosto de 2013

Física en la piscina


Aquí una pregunta de física diaria para estos días tan calurosos de agosto, en los que apetece nadar o estar muy cerca del agua:

Un grupo de niños y niñas está divirtiendose en la pequeña piscina casi circular de aproximadamente 5 metros de diámetro. Han puesto a flotar en ella un pequeño bote inflable, lo han llenado con 40 piedras pesadas, se han subido al bote y, tras muchas risas, han empezado a tirar las piedras en la piscina. Uno de ellos se quedó fuera de la piscina y se quedó todo sorprendido mirando la superficie del agua.

¿Porqué? ¿Cómo varía el nivel del agua?
¿Cuándo es más alto? Cuándo las piedras están en el bote o cuando están en el fondo de la piscina?

Si tras pensar en el efecto del desplazamiento de agua por bote, niños y piedras, en el principio de Arquímedes y el efecto del empuje, quieres comprobar también experimentalmente como se comporta el nivel, pero no quieres llenar la piscina con piedras o no tienes ninguna piscina pequeña a tu disposición, puedes hacer un experimento similar con un vaso (si es graduado, mejor) u otro recipiente lleno de agua (representan la piscina), un tapón de plástico suficientemente hondo para que no se llene de agua al cargarlo (representa el bote) y una, dos o tres monedas (representan las piedras más pesadas o densas que el agua).

¿Te ha sorprendido el resultado del experimento?
o ¿acertaste con la respuesta antes de realizar el experimento?

Aquí puedes encontrar unos cálculos que respaldan y explican lo observado.

Nota: esta pregunta de física diaria es un ejemplo de pregunta curiosa que plantean a veces los seleccionadores en una entrevista de trabajo para poner a prueba el ingenio y rapidez mental de los postulantes.

30 de julio de 2013

Retazos de física viendo los mundiales de natación


Se está celebrando ahora el XV campeonato mundial de natación en Barcelona: un buen momento para plantearse algunas ideas sobre la física en la natación.

La natación es una actividad deportiva que se desarrolla a través de la interacción del nadador con el agua y esta interacción puede analizarse físicamente considerando básicamente los siguientes aspectos:
- el empuje que posibilita la flotación y que actúa en sentido vertical y hacia arriba;
- la propulsión que empuja el cuerpo hacia delante y que se consigue moviendo adecuadamente los brazos y las piernas;
- la resistencia del agua que actúa en contra del avance del cuerpo.

EL EMPUJE
Las personas podemos conseguir fácilmente flotar sobre la superficie del agua gracias a la fuerza de empuje que aparece cuando se sumerge un cuerpo en un fluido (líquido o gas). Un cuerpo flota cuando su peso P es igual en magnitud al empuje E. Si, en cambio el peso del cuerpo es superior al empuje (P>E), el cuerpo baja hasta el fondo, es decir, se hunde. Según el principio de Arquímedes, la fuerza de empuje E, que actúa hacia arriba, es igual en magnitud al peso del volumen de fluido (agua) desalojado por el cuerpo:
E = DA·VAD· g
(densidad del agua por volumen de agua desalojada (= volumen de la parte del cuerpo sumergida en agua) por la constante de atracción de la tierra)
El peso, que actúa hacia abajo, viene dado según la segunda ley de Newton por:
P = m·g = DC·VC· g
(densidad media del cuerpo por volumen total del cuerpo por constante de atracción de la tierra)
Por consiguiente, el cuerpo flota a un nivel en el que desplaza exactamente el agua suficiente para que:     E (fuerza de empuje ascendente) = P (fuerza peso descendente)

Las densidades juegan por tanto un papel clave: si el cuerpo tiene una densidad media menor a la del agua (DA= 1000kg/m3 si es agua dulce y ~1025kg/m3 si es agua salada), flotará en la superficie, porque su peso es menor que el del agua desplazada por todo su volumen. Esto se cumple generalmente en el caso del cuerpo humano (densidad media ~ 970kg/m3). No obstante, l@s nadador@s que tienen huesos más pesados y una capacidad de aire contenido menor, al tener una densidad corporal mayor, se hunden algo más en el agua, aunque siguen flotando, y esto es una desventaja en las competiciones de natación.
Para una buena utilización del empuje y mejorar la velocidad al nadar y el aguante, la posición del cuerpo en el agua es también decisiva. Hay que tener aquí en cuenta que hay dos puntos de aplicación de fuerza: el centro de gravedad (CG) y el centro de flotación (CF).
El centro de gravedad CG, que representa la posición media de toda la masa del cuerpo y es el punto de aplicación de la fuerza de gravedad o peso, se encuentra en el ser humano, cuando está en posición recta y con los brazos pegados a los costados, aproximadamente a la altura del ombligo debido a que la zona de las piernas tiene una mayor densidad que la de los pulmones llenos de aire. Una característica del centro de gravedad es que si, por ejemplo, se coloca verticalmente debajo de él una cuña de balanceo, el cuerpo se mantiene en equilibrio porque el peso está ditribuido equitativamente a los dos lados de la vertical (véase la siguiente imagen).
El centro de flotación CF es el centro de gravedad del volumen del líquido desplazado (igual al volumen de la parte sumergida del cuerpo) que coincide con el centro geométrico del volumen (por ser la densidad uniforme en todo este volumen de agua desplazada) y es el punto de aplicación de la fuerza de empuje ascendente. En el ser humano flotando en agua, su posición se encuentra en una posición más próxima al centro del pecho.



Cuando el centro de gravedad y flotación no se encuentran sobre la misma línea de aplicación vertical (casos a y b en la figura), se produce un movimiento rotatorio con el que se hunden más las piernas (parte más pesada del cuerpo) hasta que el centro de gravedad y el de flotación se hallan en la vertical (caso d).
Pero se nada mal y avanza muy poco cuando las piernas cuelgan hacia abajo (en esta posición se aumenta la resistencia del agua).
Para evitar el hundimiento de las piernas, se recomienda respirar abdominalmente y no torácicamente para desplazar así el centro de flotación más hacia el nivel del ombligo. Otra forma para conseguir una flotación más horizontal consiste en estirar los brazos por encima de la cabeza, consiguiéndose así que el centro de gravedad se acerque más al centro del pecho y coincida casi con el centro de flotación (caso d), anulándose por tanto prácticamente la tendencia al giro.

PROPULSIÓN Y RESISTENCIA
Para avanzar en el agua, el deportista tiene que empujar agua para "rebotar" en sentido opuesto. Es decir, tiene que hacer uso del principio de acción y reacción descrito por la tercera ley de Newton. Con la realización de unos movimientos de brazos y piernas según una técnica de natación optimizada, puede conseguir que éstos le proporcionen la máxima propulsión con la menor resistencia posible. En la natación a braza, por ejemplo, tiene que moverse de forma que la fuerza que ejerce sobre el agua sea máxima cuando desplaza los brazos hacia atrás y mínima cuando los vuelve a estirar hacia delante para poder volver a empujar hacia atrás en la siguiente brazada.
Movimiento de brazos y piernas en la natación a braza
Esto lo consigue orientando transversalmente las palmas de sus manos con respecto a la dirección de desplazamiento y poniéndolas en forma de cuchara cuando las desplaza enérgicamente hacia atrás (fase de tirón). En cambio, en la fase de recobro o retorno, debe procurar que la superficie frontal de manos y brazos sea la mínima posible para que la resistencia del agua y el frenado sean lo más pequeños posibles.
Posición de manos para reducir la resistencia en la fase de recobro
Para disminuir la resistencia del agua y su efecto de frenado, pueden tomarse de hecho distintas medidas según el tipo de resistencia::
Para minimizar la resistencia por rozamiento, que depende de la estructura superficial del cuerpo en movimiento y que se origina por el agarre de particulas de agua a la superficie del nadador, puede utilizarse un gorro de baño o optarse por el rasurado de la cabeza, utilizarse un traje de baño de baja fricción e incluso someterse a un afeitado corporal.
Las resistencias de forma y al flujo, que depende de la forma del cuerpo y de los remolinos de agua que se forman al final del cuerpo y actúan en contra del sentido de avance, pueden disminuirse con movimientos y posturas apropiados. 
Mediante los movimientos optimizados para los distintos estilos de natación se generan de hecho también efectos de empuje hidrodinámicos que facilitan el desplazamiento en el agua.

Más sobre el tema:
- Flotación y estabilidad, Recursos para escolares de Planetseed.com
- Biomecánica de la natación. Klaus Reischle. Ed. Gymnos. Madris 1993

22 de julio de 2013

Ingenio matemático con aire acondicionado al 100%








La noche está al caer y tres jóvenes viajeros deciden parar en el primer Motel que ven y que aún tiene habitaciones libres. ¡Tiene además aire acondicionado en todas las habitaciones!

El precio para una habitación de tres camas es de 90 € por noche.
Como sólo van a quedarse una noche, cada uno paga sus 30 € por adelantado y se retiran luego directamente a la habitación porque están cansados y piensan partir al día siguiente a primera hora de la mañana.
Al cabo de un rato, el propietario del motel se da cuenta que el precio de la habitación para ese día de la semana es de sólo 85 €. Coge 5 € de la caja y pide a su ayudante que los devuelva a los tres huéspedes. El ayudante se da no obstante cuenta de que no se pueden repartir equitativamente cinco euros entre tres personas y decide por tanto que lo mejor es darles sólo tres euros.
Los tres jóvenes han pagado así pues finalmente 30-1= 29 € cada uno, o sea, 87 € en total. El ayudante del motel se quedó con 2 €, esto hace 87+2= 89 €.
¡Pero al principio se pagaron 90 € y no 89 €!
¿Dónde está el euro que falta?

Nota: esta anécdota con pregunta sorpresa es un ejemplo de pregunta curiosa que plantean a veces los seleccionadores en una entrevista de trabajo para poner a prueba el ingenio y rapidez mental de los postulantes.
Solución

9 de julio de 2013

Hasta donde alcanza la vista

Ya estamos en verano y con las vacaciones escolares se han multiplicado también las ocasiones de disfrutar del contacto con la naturaleza y de elucubrar sobre pequeños y grandes enigmas que nos rodean....

Cuando paseaba esta madrugada por el parque agrícola de Collserola (Sant Cugat del Vallés, Barcelona) hice unas pocas fotos ........

Campo de trigo junto a la entrada de Sant Cugat del Vallés al parque de Collserola

y me plantee la pregunta de cuán lejos podría estar el horizonte que distinguía a simple vista al estar en medio de un campo llano en el que no hay elementos que ocultan su visión (árboles, edificios, etc.) ni condiciones atmosféricas adversas (niebla, calima, luuvia, etc.) y de cómo variaría el alcance de la vista si mirase el horizonte desde un mirador o posición de observación más elevada.

Unas vistas muy bonitas sobre el horizonte se tienen desde luego también cuando se está junto al mar o en un velero, siempre y cuando las condiciones atmosféricas sean lo suficientemente buenas.

Cap Roig en la Costa Brava


Una respuesta aproximada a estas preguntas puede deducirse partiendo del bien conocido teorema de Pitágoras.
Aquí un dibujo colorista que he hecho para ilustrarlo mejor:




La tierra no es una esfera perfecta, pero para una estimación aproximada del alcance de nuestra vista hasta el horizonte podemos considerar aceptablemente que tiene un radio medio de 6370 km.

En el triángulo rectángulo del dibujo (el ángulo entre x y r es de 90º):
es el alcance de la vista o distancia hasta el horizonte
es el radio medio de la tierra
r + s  es la distancia del observador al centro de la tierra y
s la altura de observación (altura de los ojos con respecto al suelo terrestre

Según el teorema de Pitágoras:                 x2 + r2 = (r + s)2

que despejando da:                                       x2 = 2rs + r2 = 2rs + s2 = (2r + s) s

Al ser el radio de la tierra mucho mayor que la altura de observación, podemos despreciar su contribución a la suma escrita entre paréntesis, por lo que:                  
                                                                     x2 ≈ 2rs = 12.740 * s

Por consiguiente, el alcance de la vista hasta el horizonte (o distancia geométrica hasta el horizonte) puede calcularse mediante la siguiente fórmula muy sencilla:

                                                             x [en km] ≈ 113 * √¯s [en km]
                                                             x [en km] ≈ 3,57 * √¯s [en m]

Para un observador de s = 1,70 m = 0,0017 km de altura, la distancia hasta el horizonte que alcanza ver cuando las condiciones atmosféricas son buenas es de aprox. 4,6 km. Si lo observase desde una plataforma de 30 m de altura (las plataformas de observación en los veleros tienen en promedio una altura s = 0,03 km), entonces el alcance de su vista hasta el horizonte sería ya, según la fórmula, de casi 20 km.

No se han considerado en esta primera aproximación efectos de refracción atmosférica que según las condiciones climatológicas pueden modificar en un factor más o menos grande el alcance de la visión. En el mundo de la náutica, suelen considerarse frecuentemente aplicando un factor de corrección promedio a la fórmula arriba indicada.

Cuando se está junto al mar o se viaja en barco puede observarse también que a veces sólo pueden verse las superestructuras de un barco lejano y no todo su cuerpo o sólo los picos de la montaña de una isla, porque el resto queda como por debajo del horizonte, como ilustra el siguiente dibujo:

¿Qué distancia máxima puede haber entonces desde un punto de observación de s metros de altura hasta la cima de una montaña de altura b que se alcanza observar sobre el horizonte de un paraje llano? ¿Hay también una fórmula sencilla que permita determinar aproximadamente esta distancia en ausencia de perturbaciones atmosféricas y efectos ópticos de refracción? 

Visión del perfil montañoso de Mallorca desde el observatorio  Fabra de Collserola, Barcelona (413 m)
Foto de Alfons Puertas Castro, tomada el 7 de dic. de.2010 hacia las 14 horas



23 de junio de 2013

Hogueras de San Juan y ciencia del fuego

Hoy es la noche de San Juan, noche de hogueras… ¡Hay que tener cuidado con el fuego!
Noche de San Juan en Barcelona
Mirad como resuelven los problemas con el fuego cuatro personas distintas… 
Un sacerdote, una física, un ingeniero mecánico y un matemático están en el último piso de un edificio en llamas.
La única manera de librarse de morir achicharrados es saltar por la ventana sobre una piscina situada en la azotea del edificio de enfrente, un poco más bajo… pero el salto parece difícil.

El sacerdote se sitúa frente a la ventana, reza y salta. Aterriza en la piscina, a apenas unos centímetros del borde…

La física estima (porque en ese momento no dispone de los medios para medir) la velocidad del viento, la distancia, la diferencia de alturas entre los edificios y, anotando todo sobre la pared, hace cálculos de trayectoria de salto a fin de determinar la velocidad y ángulo de salto iniciales necesarios para aterrizar en medio de la piscina. Toma impulso, salta y cae dentro de la piscina, apenas a unos centímetros del borde…

El ingeniero coge una tabla del suelo, estima su elasticidad, fija la tabla sobre el marco de la ventana y utiliza datos que escribió la física para hacer sus propios cálculos – acaban siendo algo más largos que los de la física y llenan toda una pared –. Finalmente se sitúa sobre la plancha, salta y aterriza en la piscina, apenas a unos centímetros del borde...

El matemático tiene ahora a su disposición los datos de la física y del ingeniero. Comienza a realizar sus propios cálculos… cubre una pared,… dos paredes, … tres paredes, ... finalmente, se coloca sobre la plancha que fijó el ingeniero sobre la ventana y salta … pero ... ¡no se le ve caer! ¿Qué ha sucedido?
.
..

….
…..
…...
….
......
...
..

¡Un error en el signo!


Visto en el blog de ZTFNews.org 

10 de junio de 2013

Buenas notas y agua

Ya se está acabando el curso. 
Algunos de vosotros ya habéis hecho gran parte de los últimos exámes y habéis sacado incluso muy buenas notas -  ¡Mis felicitaciones! 

Otros aún tenéis un examen de mates y/o física la próxima semana - ¡Ánimos! 

Además, según un estudio reciente de un grupo de invertigadores de la University of East London, hay un método muy sencillo y sano para mejorar los resultados de un exámen: hacerlo acompañado de una botella de agua

¿¡Mejores notas sin tener que estudiar adicionalmente!?



Pues sí, esto es lo que se ha encontrado. En particular, los autores del estudio (Chris Pawson y colaboradores) hicieron una encuesta a 447 estudiantes de la University of East London con el fin de estudiar su comportamiento en la realización de distintos exámenes y su rendimiento en función de si llevaban o no algo para beber. Lo llamativo de este estudio y que ha dado mucho que hablar es el siguiente resultado:

Los que van al examen con una botella de agua consiguen mejores resultados y ésto incluso si no beben nada de agua.

Según la opinión del investigador principal, las causas son psicológicas y fisiológicas: el consumo de agua puede tener un efecto positivo sobre las funciones cognitivas y reducir la ansiedad contraproductiva, pero incluso la simple presencia de la botella junto al examinando puede tener este efecto tranquilizador.

No obstante, los investigadores no llegaron a analizar detalladamente si los estudiantes que obtuvieron buenas notas bebieron mucha agua, solo unos tragos o nada.... 

Supongo que tampoco tuvieron en cuenta la siguiente posibilidad:




Según el investigador principal, Chris Pawson, se ampliará este estudio para establecer claramente la causalidad (más información sobre este esutio en la página de noticias de la University of East London). 

Mientras tanto no cuesta nada probar uno mismo la eficacia de este método, ¡pero mejor sin chuleta!
Hacer una chuleta toma su tiempo y, además, el profesor o profesora puede detectarla fácilmente.

Nota: No es siempre una mala idea hacerse una chuleta (pero ¡ojo con usarla!), porque para escribirla hay que saber resumir bien el tema del examen y se aprende al escribirla. De hecho, es la razón por la que muchas veces ya ni se necesita recurrir a ella durante el examen. 

3 de junio de 2013

Antes del examen


¡ÁNIMO, LO CONSEGUIRÁS!

Y aquí unos consejos útiles para las 24 horas previas al exámen:
  • Si ya has estudiado como debe ser, lo mejor que puedes hacer el día anterior al exámen es relajarte dedicándote, por ejemplo, a tu hobby preferido. Repasa solo brevemente lo estudiado si esto te hace sentir mejor, pero ten en cuenta que el cerebro no relaciona bien a última hora nuevos contenidos con los conocimientos ya existentes y que la aparición de nuevas dudas pueden acrecentar el nerviosismo y estrés.
  • Duerme suficientemente (por lo menos 7 horas) la noche antes del exámen.
  • Levántate suficientemente pronto el día del exámen. Ten en cuenta que el cerebro necesita como mínimo dos horas para estar a pleno rendimiento. Un paseo matutino o un poco de gimnasia favorecen la buena oxigenación y un buen desayuno rico en hidratos de carbono y pobre en cafeína proporciona la energía necesaria para la buena realización del exámen.
  • Cuando estés con tus compañeros durante el periodo previo al exámen, no alteres inultilmente tus áninos con preguntas o especulaciones sobre los temas del exámen. No te dejes influenciar por un aluvión de dudas ajenas ni por nerviosismos colectivos. O sea, intenta estar el mínimo tiempo posible con compañeros dedicados a estas actividades tan  estresantes y desalentadoras.
  • Si a pesar de todo empiezas a notar demasiado nerviosismo o el inicio de algo de pánico en tí, intenta respirar profunda y pausadamente y centra tus pensamientos en alguna experiencia grata o en algo bonito que vas hacer tras el exámen.  

16 de mayo de 2013

Saber y suerte para aprobar


La vida está llena de imprevistos y golpes de suerte por lo que va muy bien saber algo de probabilidades a fin de prever riesgos y estimar posibilidades de éxito.
Pero los cálculos de probabilidad ¿pueden ser también útiles para saber cómo prepararse o proceder ante un examen?
Aquí dos ejemplos para analizarlo y de paso chequear los propios conocimientos e intuición probabilísticos:


Ejemplo 1:
A los tres mejores estudiantes de segundo de física les queda ya sólo un examen de física cuántica para acabar el curso. Se sienten muy bien preparados y no ven inconveniente en rechazar la invitación a una fiesta que se celebra la noche anterior al día del examen.
A la mañana siguiente, como se veía a venir, los tres no se despiertan a tiempo y llegan tarde para el  examen. Se encuentran delante del edificio de la facultad y piensan cómo podrían salir ahora de esta situación embarazosa. Saben que el profesor los tiene en muy alta consideración por sus trabajos anteriores y quieren intentar convencerlo para que les dé una segunda oportunidad para hacer el examen.
Tras discutirlo un rato, deciden recurrir a la excusa típica de que han tenido un reventón y de que por eso no han podido llegar a tiempo. Van a ver el profesor para plantearle la excusa y resulta que el profesor accede a darles una segunda oportunidad si hacen el examen ahora mismo. Los 3 estudiantes lo aceptan agradecidos y contentos de tener un profesor tan condescendiente.
Al cabo de unos 15 minutos, el profesor los lleva a tres habitaciones separadas y les entrega la hoja de examen que sólo contiene dos preguntas. Una pregunta que vale 30 puntos y la siguiente pregunta de 70 puntos:  ¿Qué neumático sufrió el reventón?

¡Vaya! El asunto no acabó tan bien, ¿o sí?
¡Es que para aprobar se necesitan por lo menos 50 puntos!

¿Cuál es la probabilidad de que los tres estudiantes contesten lo mismo?

* 1 / 64
* 1 / 16
* 1 / 4
* 1 / 3

(cliquear AQUÍ para ver detalles y comentarios sobre el cálculo de la probabilidad en este caso)







Ejemplo 2:
A Pablo ya no le queda el tiempo suficiente para prepararse bien los 6 temas que entrarán en el próximo examen de matemáticas. Está pensando ahora si no le convendrá más centrarse únicamente en tres de los seis temas y estudiarselos muy bien, teniendo en cuenta que el examen constará solamente de dos ejercicios que versarán cada uno sobre un tema distinto escogido al azar de entre los 6 temas de examen.
¿Qué probabilidad tendría entonces Pablo de que en el examen salga por lo menos uno de los temas que ha estudiado para poder así aprobar?

* 50%
* 25%
* 80%
* 75%

(cliquear AQUÍ para ver detalles y comentarios sobre el cálculo de la probabilidad en este caso)

Para refrecar o ampliar conocimientos básicos sobre el cálculo de probabilidades, pueden resultar  interesantes y/o útiles:

Libro:  El andar der borracho o cómo el azar gobierna nuestras vidas
del autor Leonard Mlodinov
Se trata de un libro entretenido e instructivo que, sin utilizar fórmulas matemáticas,  proporciona una visión general sobre el mundo de las probabilidades y su historia, incluyendo anécdotas y malinterpretaciones comunes.
(Nivel: a partir de bachillerato)
Curso en línea de introducción a la probabilidad
patrocinado por el Instituto Nacional de Tecnologías Educativas
(Nivel: ESO)


Pequeño curso de probabilidad básica con ejercicios interactivos
Autor: J. Joaquín Seda
(Nivel: bachillerato)


Probabilidad y juego explicado mediante animaciones flash
Curso patrocinado por el Ministerio de Educación y Cultura de
España
Autora: Isabel Martín Rojo
(Nivel: 4º ESO - Bachillerato)


Elementos de probabilidad y estadística
Resumen de contenidos para bachillerato de CCSS

Clases presenciales con CSI
(en Sant Cugat del Vallés)


8 de mayo de 2013

Letras del alfabeto griego en matemáticas y física


En matemáticas y física se utilizan frecuentemente letras griegas para denotar parámetros y constantes.
La siguiente tabla proporciona una pequeña ayuda para familiarizarse con las más utilizadas:


Letras griegas
Pronunciación

Onomatopeyas
mayúsculasminúsculas

Α

α

Alpha


Β

β

Beta

Γ

γ

Gamma


Δ

δ

Delta


Ε

ε

Epsilon


Η

η

Eta


Θ

ϑ

Theta


Κ

κ

Kappa

Λ

λ

Lambda


Μ

μ


Mu

Ν

ν

Nu


Π

π


Pi

Ρ

ρ


Rho

Σ

σ

Sigma

Τ

τ

Tau

Υυ

Ipsilon

Φ
φ
Phi


Χ

χ

Ji

Ψ

ψ


Psi


Ω

ω

Omega


6 de mayo de 2013

¿Cómo puedo mejorar mis notas de mates?



Intenta hacer regularmente tus deberes y, si puede ser, el mismo día en el que te los han propuesto, porque entonces recordarás bien lo tratado en clase.

Va muy bien seguir el siguiente procedimiento:
  • Coje tu carpeta de matemáticas y revisa tus últimos apuntes
    • Fíjate en los nuevos conceptos y memoriza las nuevas fórmulas y proposiciones matemáticas.
    • Repasa los ejercicios de ejemplo tratados en clase. 
    • Compara, si fuera necesario, con el capítulo correspondiente del libro para subsanar cualquier posible error o imprecisión en tus apuntes. 
    • Si hubiese algo que no entiendes, apúntalo en la franja lateral de tus apuntes y plantea la cuestión en la próxima hora de clase.
  • Pasa a resolver los ejercicios propuestos
........... y si no consigues resolverlos, entonces:
  • Vuelve a resolver en una hoja aparte los ejercicios de ejemplo similares al que no consigues resolver y consulta otra vez tus apuntes o el capítulo correspondiente del libro.
  • Intenta resolver el ejercicio hasta donde puedas y si no llegas a resolverlo del todo, apúntate en la carpeta de mates las cuestiones a aclarar o dificultades que tienes para que tu profesor@ pueda aclararte las dudas en la clase siguiente.

20 de abril de 2013

Ambigüedad en imágenes y entrenamiento de las habilidades de visión espacial

No todo el mundo tiene la misma habilidad en representar sobre papel u otro soporte bidimensional un cuerpo de tres dimensiones o, al revés, la habilidad en reconocer la forma y posición de un objeto tridimensional en el espacio a partir de un dibujo bidimensional hecho a escala y según las reglas de la  perspectiva.
Se necesitan para ello unas habilidades artísticas y visoespaciales más o menos bien desarrolladas, que afortunadamente pueden incrementarse mediante la práctica y el entrenamiento. En este entrada del blog nos centraremos en la segunda, es decir, intentaremos ejercitar un poco nuestras habilidades de visión espacial aplicando a la vez unos conceptos básicos de geometría analítica (sistema de coordenadas y las coordenadas de puntos para indicar con precisión la situación de dichos puntos en el espacio).

Siempre que se realiza una representación bidimensional de un objeto tridimensional, se pierde algo de información, aunque se dibuje perfectamente y figure correctamente el efecto volumétrico del objeto sobre la superficie bidimensional. Esta pérdida en información puede implicar diversas interpretaciones de una misma imagen o ilusiones ópticas. Por ejemplo, ya sólo el dibujo de un simple cubo transparente admite dos interpretaciones:
Por un lado, podemos interpretar el dibujo como la visión del cubo desde arriba y algo a la derecha del mismo (la cara de color es en este caso la cara posterior del cubo) y, por otro lado, podemos interpretar el dibujo como la visión del cubo desde abajo y algo a la izquierda del cubo (el lado verde del cubo es ahora la cara frontal del mismo).
¡No resulta siempre fácil pasar de una perspectiva a la otra!
Para facilitar algo la visión de estas dos posibilidades, presento a continuación la imagen de un cubo muy parecido pero que es semitransparente:


Cara frontal blanca - cara posterior verde                      Cara frontal verde - cara posterior blanca
Las líneas punteadas representan las aristas semiocultas por el material semitransparente.

Y las dos perspectivas se pueden ver aún mucho mejor si se utilizan elementos básicos de la geometría analítica, es decir, si se sitúa el cubo (unitario) en un sistema de coordenadas cartesiano (ortogonal) y se indican las coordenadas de algunas de sus esquinas:


Cara frontal blanca - cara posterior verde                        Cara frontal verde - cara posterior blanca
La esquina (000) se encuentra detrás de                         El vector dibujado en rojo que va de (000)
la cara frontal semitransparente                                    a (111) coincide con una diagonal del cubo

Aquí otro ejemplo de imagen ambigüa a causa del mismo problema de pérdida de información:



En este ejemplo pueden verse en un caso un cubo y en el otro caso dos cubos. Esta ambigüedad se elimina de nuevo al indicar en cada caso las coordenadas del punto engañoso:



Hemos visto con estos ejemplos vistosos que indicar ejes de coordenadas y las coordenadas de algunos puntos (y dibujar, como en el caso del cubo semitransparente, algunas líneas punteadas para localizar mejor la posición relativa de los puntos) facilita enormemente el reconocimiento del objeto y elimina ambigüedades en un dibujo bidimensional de un objeto tridimensional.... pero esto no implica para todo el mundo que no se necesite entrenar aún un poco más las habilidades de visión espacial. 
Puedes entrenarte un poco más en estas habilidades visioespaciales y fortalecer tus conocimientos básicos de geometría analítica accediendo a la siguiente aplicación interactiva en Internet:

Y para finalizar con un poco de humor, otras dos imágenes que utilizan con gracia este tipo de ambigüedad o ilusiones ópticas:



14 de abril de 2013

Entrenamiento en mates con sistemas de ecuaciones e inecuaciones



¿Cuántos cuadrados rojos cumplen la última igualdad?





Ingenio
Encuentra v realizando como máximo 3 cálculos 





Razonamiento combinatorio

¿Qué ecuaciones describen los lados del triángulo y qué sistema de inecuaciones tiene como conjunto de soluciones al área de color rojo?




Visión
Los sistemas de ecuaciones lineales pueden resolverse sistemáticamente (p. ej., aplicando el método de triangulación Gauss) 



Abstracción
La práctica es muy importante para aumentar la capacidad creativa, soltura en los razonamientos y afianzar los conocimientos.
Aquí unos buenos enlaces para aclarar conceptos y para practicar y entrenarse en Internet:





    Práctica



    10 de abril de 2013

    ¿Cuáles son los mejores apuntes?

    Bart Simpson está desesperado porque se acaba de dar cuenta que ha perdido sus apuntes de mates. Los ha buscado por todas partes y no los encuentra. Ahora no sabe cómo va a poder prepararse para el próximo exámen de mates sobre sistemas de ecuaciones....

    ¡Este es el peor día de mi vida!

    Su padre, Homer, al enterrarse, le da a Bart un buen consejo.....

    El peor día ¡HASTA AHORA!

    Siempre hay una salida y en este caso lo tiene Bart relativamente fácil: aún tiene tres días hasta el exámen y mañana puede pedir a alguno de sus amigos de clase que le deje un momento sus apuntes para fotocopiarlos.

    Al día siguiente, Bart ha podido fotocopiar los apuntes de dos amigos suyos, Marc y Leandro (de dos porque no está muy seguro si atienden siempre bien en clase y si toman bien los apuntes, aunque uno de ellos le haya comentado que intenta utilizar el sistema Cornell).

    A continuación puedes ver las primeras páginas de los apuntes (en español) que Bart ha fotocopiado (aquí solo está una pequeña primera parte sobre tema de resolución de sistemas de ecuaciones lineales).

    ¿Cuáles te parece que son los apuntes que mejor ayudan al estudio y preparación para el exámen? Porqué?

    Apuntes de Marc:


    Apuntes de Leandro:



    Leandro es el que utiliza más o menos el sistema de apuntes de Cornell (para más información sobre este sistema puedes consultar esta página de Wikipedia).
    ¿Te parece que es un sistema útil?

    Consejo: Analiza bien las distintas razones por las que te parecen más útiles los apuntes de Marc o de Leandro e intenta tenerlas en cuenta en la confección de tus propios apuntes.

    Los apuntes con los que mejor se estudia son siempre los propios, cuando están bien hechos.


    8 de abril de 2013

    Cómo mejorar las notas










    1. Apunta al principio de la clase la fecha y el título del tema que se va a tratar.
    2. Apunta ordenadamente y con claridad todas las explicaciones importantes (lo que se escribe en la pizarra, las explicaciones que lo aclaran o suplementan, los ejercicios que se hacen).
    3. Deja espacio libre para poder añadir holgadamente anotaciones complementarias o alguna corrección, si fuera necesaria.
    4. Deja también un espacio lateral para poder añadir posteriormente, tras la clase, comentarios o notas abreviadas mediante símbolos (p. ej., esto es importante (!) o no lo entiendo (?)) que te ayudarán a fijarte en lo esencial y corregir lo antes posible las lagunas detectadas.
    5. Apunta al final los deberes o tareas a realizar.
    6. Guarda los apuntes de cada materia por separado. En lugar de cuadernos para cada asignatura, va muy bien (si eres ordenado y conviene mucho que lo seas) utilizar hojas sueltas perforadas que vas guardando en el apartado dedicado a la asignatura en una carpeta clasificadora. Al utilizar hojas sueltas te resultará mucho más fácil añadir ordenadamente, en el lugar apropiado, las anotaciones complementarias u hojas entregadas por el profesor.
    7. Una forma eficaz de distribuir la información en cada hoja de apuntes es la del "método Cornell" que se ilustra en el dibujo siguiente: