20 de abril de 2013

Ambigüedad en imágenes y entrenamiento de las habilidades de visión espacial

No todo el mundo tiene la misma habilidad en representar sobre papel u otro soporte bidimensional un cuerpo de tres dimensiones o, al revés, la habilidad en reconocer la forma y posición de un objeto tridimensional en el espacio a partir de un dibujo bidimensional hecho a escala y según las reglas de la  perspectiva.
Se necesitan para ello unas habilidades artísticas y visoespaciales más o menos bien desarrolladas, que afortunadamente pueden incrementarse mediante la práctica y el entrenamiento. En este entrada del blog nos centraremos en la segunda, es decir, intentaremos ejercitar un poco nuestras habilidades de visión espacial aplicando a la vez unos conceptos básicos de geometría analítica (sistema de coordenadas y las coordenadas de puntos para indicar con precisión la situación de dichos puntos en el espacio).

Siempre que se realiza una representación bidimensional de un objeto tridimensional, se pierde algo de información, aunque se dibuje perfectamente y figure correctamente el efecto volumétrico del objeto sobre la superficie bidimensional. Esta pérdida en información puede implicar diversas interpretaciones de una misma imagen o ilusiones ópticas. Por ejemplo, ya sólo el dibujo de un simple cubo transparente admite dos interpretaciones:
Por un lado, podemos interpretar el dibujo como la visión del cubo desde arriba y algo a la derecha del mismo (la cara de color es en este caso la cara posterior del cubo) y, por otro lado, podemos interpretar el dibujo como la visión del cubo desde abajo y algo a la izquierda del cubo (el lado verde del cubo es ahora la cara frontal del mismo).
¡No resulta siempre fácil pasar de una perspectiva a la otra!
Para facilitar algo la visión de estas dos posibilidades, presento a continuación la imagen de un cubo muy parecido pero que es semitransparente:


Cara frontal blanca - cara posterior verde                      Cara frontal verde - cara posterior blanca
Las líneas punteadas representan las aristas semiocultas por el material semitransparente.

Y las dos perspectivas se pueden ver aún mucho mejor si se utilizan elementos básicos de la geometría analítica, es decir, si se sitúa el cubo (unitario) en un sistema de coordenadas cartesiano (ortogonal) y se indican las coordenadas de algunas de sus esquinas:


Cara frontal blanca - cara posterior verde                        Cara frontal verde - cara posterior blanca
La esquina (000) se encuentra detrás de                         El vector dibujado en rojo que va de (000)
la cara frontal semitransparente                                    a (111) coincide con una diagonal del cubo

Aquí otro ejemplo de imagen ambigüa a causa del mismo problema de pérdida de información:



En este ejemplo pueden verse en un caso un cubo y en el otro caso dos cubos. Esta ambigüedad se elimina de nuevo al indicar en cada caso las coordenadas del punto engañoso:



Hemos visto con estos ejemplos vistosos que indicar ejes de coordenadas y las coordenadas de algunos puntos (y dibujar, como en el caso del cubo semitransparente, algunas líneas punteadas para localizar mejor la posición relativa de los puntos) facilita enormemente el reconocimiento del objeto y elimina ambigüedades en un dibujo bidimensional de un objeto tridimensional.... pero esto no implica para todo el mundo que no se necesite entrenar aún un poco más las habilidades de visión espacial. 
Puedes entrenarte un poco más en estas habilidades visioespaciales y fortalecer tus conocimientos básicos de geometría analítica accediendo a la siguiente aplicación interactiva en Internet:

Y para finalizar con un poco de humor, otras dos imágenes que utilizan con gracia este tipo de ambigüedad o ilusiones ópticas:



14 de abril de 2013

Entrenamiento en mates con sistemas de ecuaciones e inecuaciones



¿Cuántos cuadrados rojos cumplen la última igualdad?





Ingenio
Encuentra v realizando como máximo 3 cálculos 





Razonamiento combinatorio

¿Qué ecuaciones describen los lados del triángulo y qué sistema de inecuaciones tiene como conjunto de soluciones al área de color rojo?




Visión
Los sistemas de ecuaciones lineales pueden resolverse sistemáticamente (p. ej., aplicando el método de triangulación Gauss) 



Abstracción
La práctica es muy importante para aumentar la capacidad creativa, soltura en los razonamientos y afianzar los conocimientos.
Aquí unos buenos enlaces para aclarar conceptos y para practicar y entrenarse en Internet:





    Práctica



    10 de abril de 2013

    ¿Cuáles son los mejores apuntes?

    Bart Simpson está desesperado porque se acaba de dar cuenta que ha perdido sus apuntes de mates. Los ha buscado por todas partes y no los encuentra. Ahora no sabe cómo va a poder prepararse para el próximo exámen de mates sobre sistemas de ecuaciones....

    ¡Este es el peor día de mi vida!

    Su padre, Homer, al enterrarse, le da a Bart un buen consejo.....

    El peor día ¡HASTA AHORA!

    Siempre hay una salida y en este caso lo tiene Bart relativamente fácil: aún tiene tres días hasta el exámen y mañana puede pedir a alguno de sus amigos de clase que le deje un momento sus apuntes para fotocopiarlos.

    Al día siguiente, Bart ha podido fotocopiar los apuntes de dos amigos suyos, Marc y Leandro (de dos porque no está muy seguro si atienden siempre bien en clase y si toman bien los apuntes, aunque uno de ellos le haya comentado que intenta utilizar el sistema Cornell).

    A continuación puedes ver las primeras páginas de los apuntes (en español) que Bart ha fotocopiado (aquí solo está una pequeña primera parte sobre tema de resolución de sistemas de ecuaciones lineales).

    ¿Cuáles te parece que son los apuntes que mejor ayudan al estudio y preparación para el exámen? Porqué?

    Apuntes de Marc:


    Apuntes de Leandro:



    Leandro es el que utiliza más o menos el sistema de apuntes de Cornell (para más información sobre este sistema puedes consultar esta página de Wikipedia).
    ¿Te parece que es un sistema útil?

    Consejo: Analiza bien las distintas razones por las que te parecen más útiles los apuntes de Marc o de Leandro e intenta tenerlas en cuenta en la confección de tus propios apuntes.

    Los apuntes con los que mejor se estudia son siempre los propios, cuando están bien hechos.


    8 de abril de 2013

    Cómo mejorar las notas










    1. Apunta al principio de la clase la fecha y el título del tema que se va a tratar.
    2. Apunta ordenadamente y con claridad todas las explicaciones importantes (lo que se escribe en la pizarra, las explicaciones que lo aclaran o suplementan, los ejercicios que se hacen).
    3. Deja espacio libre para poder añadir holgadamente anotaciones complementarias o alguna corrección, si fuera necesaria.
    4. Deja también un espacio lateral para poder añadir posteriormente, tras la clase, comentarios o notas abreviadas mediante símbolos (p. ej., esto es importante (!) o no lo entiendo (?)) que te ayudarán a fijarte en lo esencial y corregir lo antes posible las lagunas detectadas.
    5. Apunta al final los deberes o tareas a realizar.
    6. Guarda los apuntes de cada materia por separado. En lugar de cuadernos para cada asignatura, va muy bien (si eres ordenado y conviene mucho que lo seas) utilizar hojas sueltas perforadas que vas guardando en el apartado dedicado a la asignatura en una carpeta clasificadora. Al utilizar hojas sueltas te resultará mucho más fácil añadir ordenadamente, en el lugar apropiado, las anotaciones complementarias u hojas entregadas por el profesor.
    7. Una forma eficaz de distribuir la información en cada hoja de apuntes es la del "método Cornell" que se ilustra en el dibujo siguiente: