tag:blogger.com,1999:blog-33729914052150731162024-03-19T13:08:41.216+01:00Mates & Física & MásBlog con material de acompañamiento al estudio de matemáticas y física a nivel de secundaria y bachilleratoCarola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.comBlogger83125tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-63929773468571802182018-09-30T20:52:00.000+02:002018-09-30T20:52:23.666+02:00Entrenamiento B para el sentido espacial. ¿Has resuelto el problema matemático del billar?<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-8YwkGm2gaZpkvu2TrMmgJ2IhKbLV714pKdy64jwBMa9ztXyQSjP0ewuNeCtacdwLi0jSUSMnx26gBlvY9FB2JmVBvu8839qIyh_xLlNiuUblkvJfvLXc9J6139cu85RuWNAzR_ei7R8/s1600/Billard4J.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="375" data-original-width="500" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-8YwkGm2gaZpkvu2TrMmgJ2IhKbLV714pKdy64jwBMa9ztXyQSjP0ewuNeCtacdwLi0jSUSMnx26gBlvY9FB2JmVBvu8839qIyh_xLlNiuUblkvJfvLXc9J6139cu85RuWNAzR_ei7R8/s320/Billard4J.jpg" width="320" /></a></div>
<br />
<br />
<script src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript"> </script><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Aquí puedes encontrar una forma de resolver la cuestión matemática sobre una partida de billar planteada en mi entrada de blog anterior.<br />
<br />
<b>La cuestión era la siguiente:</b><br />
<br />
<br />
La posición de las bolas roja y blanca en la figura 2 parece muy simétrica. Jan y Anna deducen por ello que el punto de impacto ideal de la bola blanca para que ésta alcance la bola roja debe encontrarse seguramente en la mitad de la banda interna derecha. ¿Sabrías comprobarlo matemáticamente? <br />
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9TQKcrAUJ_0WU11sdWDA3Dya5yTUa-qSLdOPusevIXf_sFE2m6q7owBsj1iq-_HzmVsosoSXWIqRXeVUWmDbN4BPU7zt3IA0zuVfuiMxDWRTP20HRUlVaxr_3hylvUUT495Fq39W5lQyg/s1600/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberEineBande.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="866" data-original-width="460" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9TQKcrAUJ_0WU11sdWDA3Dya5yTUa-qSLdOPusevIXf_sFE2m6q7owBsj1iq-_HzmVsosoSXWIqRXeVUWmDbN4BPU7zt3IA0zuVfuiMxDWRTP20HRUlVaxr_3hylvUUT495Fq39W5lQyg/s400/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberEineBande.jpg" width="211" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 12.8px; text-align: center;">Fig. 2 - Tirada sin efecto a una banda</td></tr>
</tbody></table>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><img src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgw_5G178E8xxm1QE2onumT4kwi2R9nPA0TfBRKZXsmhzSSqucV9zNUFuTZFUnBMmOqkrKNhY0ya8OHlJaWxilvV7uoCBioPnKR0UWvdo88xP-uX5qcnaSiCfwg1Be6lBYj_pUJmRFkceM/s400/MesaConCoordenadas.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;" /></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fig. 3 - Mesa de billar con cuadrícula para localizar bien<br />
los puntos relevantes</td></tr>
</tbody></table>
<br />
Para ello, podrías situar la superficie de juego y las bolas en un sistema de coordenadas rectangular y asignar, por ejemplo, las coordenadas (0,0), (1,0), (0,2) y (1,2) a las cuatro esquinas (v. Fig. 3), ya que una mesa de billar suele medir el doble de largo que de ancho.<br />
<div style="text-align: left;">
</div>
<br />
Además, puedes considerar que:<br />
<ul>
<li>La mesa es perfectamente plana y el impacto se realiza siempre en el centro de las bolas por lo que las bolas se desplazan rectilíneamente y rebotan en las bandas según la ley de la reflexión (Fig. 4).</li>
<li>Despreciamos también los efectos del rozamiento entre bolas y mesa, por lo que no tenemos que preocuparnos si se detienen antes de llegar a su meta.</li>
<li>Los bolas pueden considerarse puntuales ya que nos centramos en colisiones sin efecto.</li>
</ul>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjal9QoXa6PPOGxdR0anx4oEkOh7cgUEnSFNGB6iCNzG9RFZFT2tMce__DrL0_bE53qpeWZV0bNmaf-TunHu7pkz2ogOnsgYUYDGYl_IMsQzBbUGEx_rgpaQZkvPKKoCUeFXngSGqTG0CA/s1600/LeyDeLaReflexion.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="230" data-original-width="310" height="148" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjal9QoXa6PPOGxdR0anx4oEkOh7cgUEnSFNGB6iCNzG9RFZFT2tMce__DrL0_bE53qpeWZV0bNmaf-TunHu7pkz2ogOnsgYUYDGYl_IMsQzBbUGEx_rgpaQZkvPKKoCUeFXngSGqTG0CA/s200/LeyDeLaReflexion.jpg" width="200" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fig. 4 - Ley de la reflexión.</td></tr>
</tbody></table>
<div>
<br /></div>
La forma de resolver el problema y calcular el punto de impacto ideal en la banda x = 1 puede escogerse a discreción (según el nivel de conocimientos matemáticos):<br />
<ul>
<li>A partir de 3º de ESO: mediante funciones de primer grado para describir las trayectorias rectas</li>
<li>A partir de 1º de Bachillerato: opcionalmente mediante ecuaciones vectoriales</li>
</ul>
<div>
<b>RESOLUCIÓN mediante funciones de primer grado</b><br />
<br /></div>
<div>
Según la figura 4, las coordenadas de la posición inicial de la bola blanca son<br />
$$P_b=\left(\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$$<br />
y las coordenadas de la posición de la bola roja<br />
$$P_r=\left(\frac{1}{3};\frac{4}{3}\right)$$<br />
<br />
Por otra parte, ya que la bola se mueve en línea recta (según la primera de las condiciones del juego arriba especificadas), podemos describir su trayectoria, antes y después del rebote en la banda, mediante dos funciones de primer grado cuya forma general es:<br />
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: left;">
$$f_1(x) = y = m_1x +b_1$$ y<br />
$$f_2(x) = y = m_2x +b_2$$</div>
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
donde m<span style="font-size: xx-small;">1</span>, m<span style="font-size: xx-small;">2</span>, b<span style="font-size: xx-small;">1</span> y b<span style="font-size: xx-small;">2</span> vienen dados por las condiciones que debe cumplir la trayectoria de la bola blanca.<br />
En particular, estas condiciones son:<br />
A) la trayectoria f<span style="font-size: xx-small;">1</span> previa al rebote parte de la posición inicial (2/3; 2/3) y llega hasta el punto (1; B) de la banda derecha cuya coordenada B aún no conocemos y queremos encontrar.<br />
B) La trayectoria f<span style="font-size: xx-small;">2</span> tras el rebote, parte del punto (1; B) y debe alcanzar la posición de la bola roja (1/3; 4/3), si se ha golpeado con el ángulo correcto la bola blanca y esto es precisamente lo que queremos que se cumpla.<br />
C) Por otra parte, para que se cumpla la ley de la reflexión, la pendiente m<span style="font-size: xx-small;">2</span> = - m<span style="font-size: xx-small;">1 </span>. Esto nos permite simplificar la notación y denotaremos m<span style="font-size: xx-small;">1</span> = m y m<span style="font-size: xx-small;">2</span> = -m.<br />
<br />
Para la primera parte de la trayectoria obtenemos por tanto el siguiente sistema de ecuaciones:<br />
$$\begin{eqnarray}<br />
\frac{2}{3}& = &\frac{2}{3}m+b_1 && \mbox{(ec. 1)} \\<br />
B &=& m+b_1 && \mbox{(ec. 2)}<br />
\end{eqnarray}$$<br />
y para la segunda parte de la trayectoria:<br />
$$\begin{eqnarray}<br />
B &=&-m+b_2 && \mbox{(ec. 3)} \\<br />
\frac{4}{3}& = &-\frac{1}{3}m+b_2 && \mbox{(ec. 4)}<br />
\end{eqnarray}$$<br />
<br />
Tenemos pues un sistema de 4 ecuaciones lineales con 4 incognitas b<span style="font-size: xx-small;">1</span>, b<span style="font-size: xx-small;">2</span>, m y B que podemos reescribir ordenando convenientemente los distintos términos para facilitar la visión general y la resolución por el método de reducción-sustitución.<br />
$$\begin{eqnarray}<br />
b_1 &+& 0 b_2 &+& \frac{2}{3}m &+& 0 B &=& \frac{2}{3} && \mbox{(ec. 1')} \\<br />
b_1 &+& 0 b_2 &+& m &-& B &=& 0 && \mbox{(ec. 2')} \\<br />
0 b_1 &+& b_2 &-& m &-& B &=& 0 && \mbox{(ec. 3')} \\<br />
0 b_1 &+& b_2 &-&\frac{1}{3}m &+& 0B &= & \frac{4}{3} && \mbox{(ec. 4')}<br />
\end{eqnarray}$$<br />
<div>
<br /></div>
Vemos que el sistema se reduce rápidamente a un sistema equivalente de 2 ecuaciones con 2 incognitas restando (1') de (2') y (4') de (3'):<br />
$$\begin{eqnarray}<br />
\frac{1}{3}m - B & = & -\frac{2}{3} && \mbox{(ec. 5)} \\<br />
-\frac{2}{3}m - B & = & -\frac{4}{3} && \mbox{(ec. 6)}<br />
\end{eqnarray}$$<br />
<br />
Restando ahora (6) de (5) obtenemos<br />
$$ m = \frac{2}{3}$$<br />
y sustituyendo este valor de m en (6),<br />
$$B = -\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{4}{3} = \frac{8}{9}$$<br />
<br />
Lo que ya nos permite afirmar que, para que la bola blanca golpee la roja tras rebotar en la banda derecha, es necesario que impacte la banda en el punto (1; 8/9) y no en (1; 1) como pensaban Jan y Anna. Además, hemos obtenido también el valor de la pendiente m de la recta que representa la trayectoria requerida para la bola blanca. Por consiguiente, el ángulo con el que tiene que incidir la bola sobre la banda derecha para que se realice el tiro deseado es:<br />
$$\alpha = 90º - \arctan{\frac{2}{3}}$$<br />
donde hemos considerado, igual que en la figura 4, que el ángulo de incidencia es el que se mide entre la trayectoria y banda.<br />
<br />
<br /></div>
</div>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-44037443788796400202018-02-11T21:33:00.000+01:002018-09-30T21:06:11.966+02:00Entrenamiento A para el sentido espacial. ¿Has resuelto el problema geométrico del billar?<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-Jb9NQWK0Zj6MO-RnqOeDkFP20DYHZph-I5ftNZoGdj6pj1cv0JgHpJ1K9AJ2OgCcVXCnCBDcsYQKzWT-8JzMhgianN4SBYT1TDsjGUDnfgbjwiQmB6wXgLBSit_fRk9xyoofbqIR-r0/s1600/Billard4J.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="375" data-original-width="500" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-Jb9NQWK0Zj6MO-RnqOeDkFP20DYHZph-I5ftNZoGdj6pj1cv0JgHpJ1K9AJ2OgCcVXCnCBDcsYQKzWT-8JzMhgianN4SBYT1TDsjGUDnfgbjwiQmB6wXgLBSit_fRk9xyoofbqIR-r0/s320/Billard4J.jpg" width="320" /></a></div>
<br />
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<br />
<br />
Casi cualquiera de nosotros a tenido la ocasión de haber jugado alguna vez al billar. Y seguro que lo que parecía fácil, eso de dar un golpe a una bola con un taco para que choque luego con otra, resultó ser mucho más difícil de lo esperado.<br />
<br />
Sin embargo, hay algunas cuestiones sobre el billar que se pueden resolver geométrica y matemáticamente sobre el papel y que planteé en mi <a href="https://mate-fisicsi.blogspot.com.es/2018/02/entrenamiento-para-el-sentido-espacial.html" target="_blank">entrada de blog anterior</a>. ¿Las has resuelto?<br />
<br />
En la presente entrada de blog puedes encontrar una forma de resolver las cuestiones de tipo geométrico que no requieren la realización de ningún cálculo (grupo de cuestiones A). La resolución de las cuestiones matemáticas que requieren un cálculo (las del grupo B), podrás encontrarla en la <a href="https://mate-fisicsi.blogspot.com/2018/09/entrenamiento-b-para-el-sentido.html" target="_blank">siguiente entrada de blog</a>.<br />
<br />
Para situarnos, he aquí un breve resumen del problema a resolver:<br />
<br />
Jan a Anna querían prepararse para su segundo encuentro de billar y analizar sobre papel el recorrido de una bola en unos casos sencillos, a fin de entrenar su sentido espacial y conseguir un buen ojo para la dirección de tiro.<br />
<br />
Ya saben que la ley física que rige fundamentalmente el juego del billar es la ley de la reflexión, pero les falta resolver lo siguiente:<br />
<b><br /></b>
<b>Grupo de cuestiones A</b>: ¿Cómo puede encontrarse fácilmente, sin ir probando, la dirección de tiro adecuada en los tres siguientes casos de tiro sin efecto, tal como lo podría hacer mentalmente un jugador de billar?<br />
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"> <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9TQKcrAUJ_0WU11sdWDA3Dya5yTUa-qSLdOPusevIXf_sFE2m6q7owBsj1iq-_HzmVsosoSXWIqRXeVUWmDbN4BPU7zt3IA0zuVfuiMxDWRTP20HRUlVaxr_3hylvUUT495Fq39W5lQyg/s1600/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberEineBande.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="866" data-original-width="460" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9TQKcrAUJ_0WU11sdWDA3Dya5yTUa-qSLdOPusevIXf_sFE2m6q7owBsj1iq-_HzmVsosoSXWIqRXeVUWmDbN4BPU7zt3IA0zuVfuiMxDWRTP20HRUlVaxr_3hylvUUT495Fq39W5lQyg/s200/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberEineBande.jpg" width="105" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 12.8px; text-align: center;"> Caso 1 - Tiro a una banda </td></tr>
</tbody></table>
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"> <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhtoYEb_mByWuWez8gqhV2YJScMHfXY0sDzsPm4_EaBvnt5cME8LXGaeuqLXc0uF4e-WVRdRihDJ5EfQaowJ8eqSuTL2pMx_ji3R9cjFPE1g5HPawkwUbyncOjgYm4pGHQxqfdI6wuIGyja/s1600/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberZweiBanden.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="866" data-original-width="460" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhtoYEb_mByWuWez8gqhV2YJScMHfXY0sDzsPm4_EaBvnt5cME8LXGaeuqLXc0uF4e-WVRdRihDJ5EfQaowJ8eqSuTL2pMx_ji3R9cjFPE1g5HPawkwUbyncOjgYm4pGHQxqfdI6wuIGyja/s200/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberZweiBanden.jpg" width="105" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 12.8px; text-align: center;"> Caso 2 - Tiro a dos bandas </td></tr>
</tbody></table>
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"> <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTaf60-yrAOHN7PaHexu0FMvDdvdlN7ucdwwIEzbH8KLxwxm-nWblh4QX5rfPesDCGPlKUHm0o6HH99lUIx4mn8cA7a7dXsTYGIHEcNZpDS0YHC4lH1jFJoORdV_jQ9JlSnjigCdqbBehy/s1600/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberDreiBanden.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="866" data-original-width="460" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTaf60-yrAOHN7PaHexu0FMvDdvdlN7ucdwwIEzbH8KLxwxm-nWblh4QX5rfPesDCGPlKUHm0o6HH99lUIx4mn8cA7a7dXsTYGIHEcNZpDS0YHC4lH1jFJoORdV_jQ9JlSnjigCdqbBehy/s200/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberDreiBanden.jpg" width="105" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 12.8px; text-align: center;"> Caso 3 - Tiro a 3 bandas <br />
<div>
<br /></div>
</td></tr>
</tbody></table>
<br />
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<br />
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<br />
<br />
<br />
¿La dificultad del tiro depende de la elección de las bandas? ¿El tiro a tres bandas es más fácil si se realiza golpeando la bola hacia la banda de abajo? ¿Porqué?<br />
<br />
Un posible procedimiento de resolución es el siguiente:<br />
<br />
Para empezar, podemos trazar una recta desde la bola blanca hacia un punto arbitrario de la zona central de la banda interna derecha, medir er ángulo entre el recorrido trazado y la superficie interna de la banda y, a continuación, trazar el recorrido de la bola refleja formando un mismo ángulo con la banda. Y es que según la ley de la reflexión, el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia.<br />
<br />
Seguramente, la trayectoria que hemos trazado no llega a tocar la bola roja. Tenemos pues que cambiar la dirección del trayecto según el cual se dirige la bola blanca hacia la banda y trazar como antes la correspondiente trayectoria de la bola reflejada.<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjvsMXySbIXzJgsFZjbFA81c3ss2kDDzXQjftaO03bmcYEM3gqhFWBTzVoh8y-rtpActw8YrIoGwGIrc-7thUewE4tO9k09h8HJf22CDxZPUHq4R2hC9FSqdqHGfxo3td6Nz6Xi6PNJaqc/s1600/Reflexion-VariandoAnguloIncidencia.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="352" data-original-width="428" height="263" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjvsMXySbIXzJgsFZjbFA81c3ss2kDDzXQjftaO03bmcYEM3gqhFWBTzVoh8y-rtpActw8YrIoGwGIrc-7thUewE4tO9k09h8HJf22CDxZPUHq4R2hC9FSqdqHGfxo3td6Nz6Xi6PNJaqc/s320/Reflexion-VariandoAnguloIncidencia.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fig 4 - Buscando el ángulo de tiro adecuado</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
Tras variar de forma sistemática el ángulo de incidencia, podemos encontrar finalmente la dirección de tiro adecuada con la que la bola blanca alcanza, tras rebotar, el centro de la bola roja.<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSgkT_keHcmiticssu7sinOhq05JjrI7O9d366u59BhhP3UqhgGjD5exUHAsconDUZG7rC7pCRzdt8q2aLT1swsWpqklFP6iYB3266F22j6K5dFJMke1DZAZjBlTee-Ndu_WL_UX24WQo/s1600/Reflexion-EncontradoElAngulo.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="325" data-original-width="428" height="242" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSgkT_keHcmiticssu7sinOhq05JjrI7O9d366u59BhhP3UqhgGjD5exUHAsconDUZG7rC7pCRzdt8q2aLT1swsWpqklFP6iYB3266F22j6K5dFJMke1DZAZjBlTee-Ndu_WL_UX24WQo/s320/Reflexion-EncontradoElAngulo.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fig. 5 - Ahora lo hemos encontrado. <br />
El recorrido de la bola blanca va hacia el centro de la bola roja.</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
Pero esta solución no nos satisface. Lo que queríamos era encontrar la dirección de tiro correcta sin tener que ir probando. Nos falta indagar algo más y a ver si se nos ocurre algo mirando bien lo que tenemos hasta ahora....<br />
<br />
Seguramente, además de la ley de la reflexión, hemos adquirido algunos conocimientos adicionales de óptica durante las lecciones de física de 1º o 2º de ESO y tal vez nos acordamos también de cómo se forman las imágenes en un espejo plano.<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhv-s7mp9wKjCZMNtWLMHsXUcAetI21Du5L72Ly7es40AIlS6efd74yyn55Tp0TcVQWTCBiL0R1rzKHoYioIiIAxiMUi8iSLnmIdKmmFglSySuxoy9aK4rEwuesQFUpaTKHE6e8m33UKL0/s1600/FormacionImagenEnEspejoPlano.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="570" data-original-width="670" height="340" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhv-s7mp9wKjCZMNtWLMHsXUcAetI21Du5L72Ly7es40AIlS6efd74yyn55Tp0TcVQWTCBiL0R1rzKHoYioIiIAxiMUi8iSLnmIdKmmFglSySuxoy9aK4rEwuesQFUpaTKHE6e8m33UKL0/s400/FormacionImagenEnEspejoPlano.jpg" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fig. 6 - Formación de una imagen en un espejo plano</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
Como puede verse en la figura 6, todos los rayos de luz procedentes de P, que inciden sobre el espejo plano, se reflejan conforme a la ley de la reflexión y como si proviniesen de un punto P' simétrico de P respecto al espejo plano. P' es el punto imagen de P que vemos en el espejo.<br />
<br />
Las figuras 5 y 6 parecen muy similares, sobre todo si prolongamos los recorridos divergentes de nuestra bola blanca en la figura 5 y situamos en el punto de convergencia de los recorridos una imagen de la bola blanca:<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLwBy0YkY1VxkdNqIUPXyCLWzPai4-QpXil1l_zsubov05iV69xW-oiwHfVjdeNTUaCdAuVQc018EPBvIpJ0_0kd7Vx7KuKuN4nXPAaeKxiUImQLREQ61njxFtcxe0tNyh3w_gIUmpPRw/s1600/Reflexion-ImagenBolas.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="532" data-original-width="428" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLwBy0YkY1VxkdNqIUPXyCLWzPai4-QpXil1l_zsubov05iV69xW-oiwHfVjdeNTUaCdAuVQc018EPBvIpJ0_0kd7Vx7KuKuN4nXPAaeKxiUImQLREQ61njxFtcxe0tNyh3w_gIUmpPRw/s400/Reflexion-ImagenBolas.jpg" width="321" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fig. 7 - Prolongación hacia atrás de los recorridos divergentes e<br />
imágenes de las bolas al imaginar un espejo en lugar de la banda</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<br />
Este parecido no es de extrañar. Las dos figuras 5 y 6 son de hecho una ilustración de la ley de la reflexión. Además, el recorrido de una bola es también reversible (roja ha de golpear a blanca) y podemos por tanto imaginarnos también una imagen de la bola roja situada en el punto simétrico de la posición de la bola roja respecto de la banda.<br />
<br />
Visto esto, podemos simplificar enormemente la búsqueda de la dirección de tiro adecuada. Lo único que tenemos que hacer es localizar (gráfica o mentalmente) la imagen especular de la bola roja y dirigir la bola blanca en dirección hacia esa imagen para conseguir golpear la bola roja. La siguiente figura lo ilustra en el caso de un tiro a una banda (caso 1):<br />
<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMi_FUX_uNW6FVw9JXzj489DgZ7WUMLrkWUX4J84PVmRMKUKOayMS2jK8o1I1JOFzckxCQwvxbXKjo1wcqrbCIj_3FGmjSQ0K3VpSQ5Zk1HStEe17LohRR0cPO-AzbbnmAJyR2LXcUp-o/s1600/MesaBillarDosBolasUnEspejo.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="750" data-original-width="1030" height="233" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMi_FUX_uNW6FVw9JXzj489DgZ7WUMLrkWUX4J84PVmRMKUKOayMS2jK8o1I1JOFzckxCQwvxbXKjo1wcqrbCIj_3FGmjSQ0K3VpSQ5Zk1HStEe17LohRR0cPO-AzbbnmAJyR2LXcUp-o/s320/MesaBillarDosBolasUnEspejo.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fig. 8 - Ilustración de la imagen de la bola roja que se obtendría al colocar un espejo<br />
y de la dirección del tiro a realizar (tras sacar el espejo)</td></tr>
</tbody></table>
<br />
Caso 2:<br />
<br />
Para encontrar la dirección de tiro adecuada para un tiro a dos bandas, tenemos que localizar la imagen de la imagen, es decir, la imagen formada por reflexión en la segunda banda de la primera imagen de la bola roja:<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhvsC5M5uZHktpInqdViIGcQ3MX0g9tu7Ndwr0HNl03upnRSHyieF5OK3GZ71aQmMjNcmKtN0iQc-ae2xXtYQ1x63YpSavNoXC_pMhbhpAQ_Kof5RNdJw5psCmSi7woPoexH9D-U7cScyA/s1600/MesaBillarDosBolasDosEspejos.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="750" data-original-width="1030" height="233" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhvsC5M5uZHktpInqdViIGcQ3MX0g9tu7Ndwr0HNl03upnRSHyieF5OK3GZ71aQmMjNcmKtN0iQc-ae2xXtYQ1x63YpSavNoXC_pMhbhpAQ_Kof5RNdJw5psCmSi7woPoexH9D-U7cScyA/s320/MesaBillarDosBolasDosEspejos.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fig. 9 - Ilustración de la imagen de la bola en el caso de dos espejos y<br />
trayectoria que debe realizar la bola blanca en el caso de un tiro a dos bandas</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
Estas imágenes especulares pueden representarse fácilmente en dos dimensiones, dibujando los puntos simétricos de los puntos representativos (bolas y esquinas de la mesa) respecto de las dos bandas internas (línea vertical que representa la banda lateral derecha vista desde arriba y línea horizontal para la banda lateral superior). Si dibujamos a continuación el recorrido del tiro a dos bandas uniendo la posición de la bola blanca (B) con la imagen de la imagen de la bola roja (R''), obtenemos el siguiente dibujo ilustrativo de un tiro a dos bandas:<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLw27bL4g9qyhttRx8tyfVuHPWD3cL56JKrLjNRRvyhpeLQzvDjIyAhn2DsF2fUzch8FIr4KpSdDhiwyTJP194DNe7wpGz713G08ALfi_eNMFiN4gT_F_eGiC7aE1tRi70v9Lct3AihIs/s1600/DibujoRecorrido_TiroA2Bandas.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="455" data-original-width="400" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLw27bL4g9qyhttRx8tyfVuHPWD3cL56JKrLjNRRvyhpeLQzvDjIyAhn2DsF2fUzch8FIr4KpSdDhiwyTJP194DNe7wpGz713G08ALfi_eNMFiN4gT_F_eGiC7aE1tRi70v9Lct3AihIs/s400/DibujoRecorrido_TiroA2Bandas.jpg" width="351" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fig. 10 - Dibujo bidimensional de un tiro a dos bandas</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
En la parte inferior izquierda de la figura 10, se encuentra el área de juego verde de la mesa de billar, en la que hemos representado también la trayectoria que realiza la bola blanca sobre la mesa antes de golpear la bola roja. En la inferior derecha podemos encontrar la imagen especular de la mesa y las bolas respecto de la banda interna derecha (línea vertical central en nuestra vista bidimensional desde arriba). En la parte superior del dibujo, tenemos las imágenes especulares B<span style="font-size: x-small;">a</span>' y R<span style="font-size: x-small;">a</span>' de B y R respecto de la banda interna superior (línea horizontal central) y las imágenes doblemente especulares B'' y R'' que son las imágenes especulares de Ba' y Ra' respecto de la banda interna derecha o también las imágenes especulares de Bd' y Rd' respecto de la banda interna superior.<br />
<br />
Esta representación rectilínea del recorrido de la bola en un espacio bidimensional formado por una red rectangular de imágenes especulares resulta también muy útil para analizar gráfica y visualmente las distintas opciones de juego que se tienen en una determinada distribución de las bolas. Esto se manifiesta claramente en el siguiente caso.<br />
<br />
Caso 3:<br />
<br />
Para determinar la dirección de tiro adecuada para un tiro a tres bandas, utilizaremos el mismo procedimiento gráfico de antes y obtenemos, al unir la posición de la bola blanca B con la de la imagen triplemente reflejada R''', la siguiente trayectoria que debe realizar la bola blanca para alcanzar el centro de la bola roja, en el caso de escoger la banda lateral derecha como primera pared de rebote:<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoEuJvtDZHRmgGoMUPwqhRomEd_GMh8qQlM_jYVsDiMI4YIYQKSKLEDtgtW5y1c0_2Vp0jchlJbMrcVJfvCYCgavsQ8JnxHrZhjcoAKMSJTthIeGEKZb_LcczXVrv1suTIZmYZL4-nZtQ/s1600/DibujoRecorrido_TiroA3Bandas.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="430" data-original-width="370" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoEuJvtDZHRmgGoMUPwqhRomEd_GMh8qQlM_jYVsDiMI4YIYQKSKLEDtgtW5y1c0_2Vp0jchlJbMrcVJfvCYCgavsQ8JnxHrZhjcoAKMSJTthIeGEKZb_LcczXVrv1suTIZmYZL4-nZtQ/s400/DibujoRecorrido_TiroA3Bandas.jpg" width="343" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fig. 11 - Dibujo de un tiro a tres bandas en la red de imágenes especulares</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<br />
En el rectángulo verde, que representa el área de juego de la mesa de billar, puede verse la trayectoria real cuya imagen especular resultante de la reflexión en los tres espejos (bandas) es la línea recta entre B y R'''.<br />
¿Pero es esta opción la mejor? ¿Podríamos alcanzar más fácilmente la bola roja mediante rebotes en otras tres bandas? Una representación de todas las posibles trayectorias que unen B con las distintas imágenes R''' que se obtienen en la red de imágenes especulares nos facilita la respuesta a estas preguntas.<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBUGjvEr2VzNQaLOExU0wTWL2i6ba63Tt4ZoUgA-nfD20wn7MDkWAceUb8NpepXLdXsjot7wBVhI91m3lWN-kbdXWv0EaHLA5WGnL-M7I8BFvw6qOqMe0n5FcKIrvpR-mpWvXwkSM_9NU/s1600/DibujoRecorrido_TiroA3Bandas-Var.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="793" data-original-width="500" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBUGjvEr2VzNQaLOExU0wTWL2i6ba63Tt4ZoUgA-nfD20wn7MDkWAceUb8NpepXLdXsjot7wBVhI91m3lWN-kbdXWv0EaHLA5WGnL-M7I8BFvw6qOqMe0n5FcKIrvpR-mpWvXwkSM_9NU/s1600/DibujoRecorrido_TiroA3Bandas-Var.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fig. 12 - Ilustración del recorrido de la bola en una vista reticular de imágenes especulares. <br />
Los recorridos en azul corresponden a las cuatro variantes de un tiro a 3 bandas,<br />
los recorridos en verde y en rojo, a tiros a una y dos bandas, respectivamente.</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
La figura 12 nos permite ver qué variantes son más fáciles de realizar. Por ejemplo, en la disposición de bolas en la que nos hemos centrado, la opción de un tiro con rebote en la larga derecha (I) y luego en la corta superior (S) y larga derecha (D) (recorrido azul oscuro) es más difícil de realizar que la variante D-S-L (recorrido azul claro) debido a que es más fácil, en la primera opción, que se confundan las imágenes R''' y R' que uno solo ve mentalmente.<br />
Los dos posibles recorridos a tres bandas que se dirigen hacia abajo (azul medio claro) son realizables en teoría, pero exigen una postura muy incómoda para el jugador que le impediría controlar bien el tiro y aplicar la fuerza requerida.<br />
La figura 12 muestra asimismo que no puede realizarse un tiro a dos bandas I-O (recorrido rojo oscuro) debido a que requiere un ángulo de tiro que coincide, en la disposición de bolas considerada, con la de un tiro directo de la blanca contra la roja.<br />
<br />
Todos estos ejemplos demuestran que un sentido espacial bien entrenado para la localización de imágenes especulares constituyen una guía útil para cualquier jugador de billar.<br />
<br />
El procedimiento gráfico reticular es muy útil, pero no exacto. Si queremos determinar con exactitud el punto de impacto en una banda y el ángulo de tiro, tenemos que calcular la trayectoria de la bola. Esto lo haremos en la <a href="https://mate-fisicsi.blogspot.com/2018/09/entrenamiento-b-para-el-sentido.html" target="_blank">siguiente entrada de blog</a> (entrenamiento B).<br />
<br />Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-8380277324670159532018-02-04T19:26:00.002+01:002018-09-30T21:06:57.006+02:00Entrenamiento para el sentido espacial - ¿Sabrías resolver este problema de billar?<br />
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhN8M7HuzkIlKI9arjFnp8-qtB8kOQZOKdePiWXHliHGyklD5yFLwR5VXBFhXsHCjcSTJL22adZl8WhCTafbk-orSpOSv5qRp7R4FfK8sb-IPIMv2WzF64hvcdNHvfvTmS3ljpy1GdBG7s/s1600/Billard4J.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="375" data-original-width="500" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhN8M7HuzkIlKI9arjFnp8-qtB8kOQZOKdePiWXHliHGyklD5yFLwR5VXBFhXsHCjcSTJL22adZl8WhCTafbk-orSpOSv5qRp7R4FfK8sb-IPIMv2WzF64hvcdNHvfvTmS3ljpy1GdBG7s/s320/Billard4J.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fig. 1 - En la sala de billar</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Jan y Anna estuvieron ayer en el nuevo centro recreativo y tuvieron allí la oportunidad de conocer mejor el juego del billar.<br />
<br />
<br />
<br />
Se enteraron de que:<br />
<ul>
<li>hay varias <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Billar" target="_blank">modalidades de billar</a> para las que se utilizan también distintos tipos de mesa;</li>
<li>jugar bien al billar requiere habilidad, concentración, un sentido espacial bien desarrollado y práctica;</li>
<li>unas leyes físicas rigen el movimiento de las bolas; </li>
<li>el baile de las bolas puede calcularse matemáticamente.</li>
</ul>
<div>
Las leyes físicas del billar son fundamental y principalmente las siguientes:</div>
<div>
<ul>
<li>Cuando el taco impulsa una bola tocándola en el centro, entonces ésta se desplaza en línea recta y rebota en las bandas de la mesa como lo haría un haz de luz en un espejo, es decir, el ángulo de rebote es igual al ángulo de incidencia.</li>
</ul>
</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMkHeJMS0n_OkI31uzLC35lhR0gBUBxfbH_Cz2PedMjc7HXpzIcQWcLvCTzfAynz8Mc_SOteOTdD8F6BmGkfWRxxuO-2xqx1ChLLljXawI1DV3gdKaadQ0LCezKR_uhX-RCPLN1Ed2WkU/s1600/LeyDeLaReflexion.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="230" data-original-width="310" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMkHeJMS0n_OkI31uzLC35lhR0gBUBxfbH_Cz2PedMjc7HXpzIcQWcLvCTzfAynz8Mc_SOteOTdD8F6BmGkfWRxxuO-2xqx1ChLLljXawI1DV3gdKaadQ0LCezKR_uhX-RCPLN1Ed2WkU/s1600/LeyDeLaReflexion.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fig. 2 - Ley de la reflexión (*)</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<ul>
<li style="text-align: left;">Si, en cambio, el taco no toca la bola en el centro, se crean movimientos de giro adicional entorno a los ejes horizontal o vertical de la bola. La bola puede moverse entonces a lo largo de una trayectoria curva y deja también de cumplir la ley de la reflexión. En este caso, se dice que el tiro se ha hecho con efecto.</li>
</ul>
<div>
* <span style="font-size: x-small;"><b>Nota</b>: En física suelen considerarse los ángulos medidos entre las trayectorias incidente o reflejada y la normal al plano (vector perpendicular al plano) ya que esto permite describir también muy bien los casos en los que la superficie reflectora no es plana. En el caso de una buena mesa de billar, las bandas internas, que son nuestra superficie reflectora, son bien planas y nos podemos ahorrar la normal del plano considerando de forma completamente equivalente los ángulos entre trayectorias y banda en lugar de los complementario utilizados en física.</span></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
Jan y Anna quieren prepararse para el próximo encuentro de billar y explorar para ello, sobre papel, el movimiento de las bolas en unos casos seleccionados. Sobretodo, lo que quieren es adquirir un buen ojo para elegir adecuadamente la dirección en la que debe golpear el taco el centro de la bola y entender bien lo que les dijo un monitor de billar:<br />
<br />
"Un jugador de billar experimentado ve mentalmente una imagen de la bola meta refleja por la banda y apunta con precisión sobre la imagen mental de dicha bola."<br />
<br />
Jan y Anna han decidido centrarse por el momento en dos bolas y estudiar tres posibles formas de impulsar sin efecto una bola y hacerla colisionar contra la otra tras rebotar en una o más bandas, pero aún no saben cómo encontrar rápidamente, sin ir probando, la dirección de golpeo adecuada y el punto de impacto correcto en una banda.<br />
<br />
Grupo de cuestiones A: ¿Sabrías explicar y mostrar sobre el papel cómo se puede determinar rápidamente (sin ir probando) la dirección de golpeo adecuada en los tres siguientes casos (Fig. 3 a 5)?<br />
<br />
Caso 1:<br />
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9TQKcrAUJ_0WU11sdWDA3Dya5yTUa-qSLdOPusevIXf_sFE2m6q7owBsj1iq-_HzmVsosoSXWIqRXeVUWmDbN4BPU7zt3IA0zuVfuiMxDWRTP20HRUlVaxr_3hylvUUT495Fq39W5lQyg/s1600/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberEineBande.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="866" data-original-width="460" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9TQKcrAUJ_0WU11sdWDA3Dya5yTUa-qSLdOPusevIXf_sFE2m6q7owBsj1iq-_HzmVsosoSXWIqRXeVUWmDbN4BPU7zt3IA0zuVfuiMxDWRTP20HRUlVaxr_3hylvUUT495Fq39W5lQyg/s320/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberEineBande.jpg" width="169" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 12.8px; text-align: center;">Fig. 3 - Tirada sin efecto a una banda</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
La bola blanca ha de impactar la bola roja tras rebotar en la banda derecha de la mesa de billar. ¿Pero en qué dirección debe mantenerse el taco para golpear adecuadamente para este fin la bola blanca? ¿Cómo determina un jugador de billar el punto de impacto correcto en la banda lateral derecha?<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Caso2:<br />
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhtoYEb_mByWuWez8gqhV2YJScMHfXY0sDzsPm4_EaBvnt5cME8LXGaeuqLXc0uF4e-WVRdRihDJ5EfQaowJ8eqSuTL2pMx_ji3R9cjFPE1g5HPawkwUbyncOjgYm4pGHQxqfdI6wuIGyja/s1600/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberZweiBanden.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="866" data-original-width="460" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhtoYEb_mByWuWez8gqhV2YJScMHfXY0sDzsPm4_EaBvnt5cME8LXGaeuqLXc0uF4e-WVRdRihDJ5EfQaowJ8eqSuTL2pMx_ji3R9cjFPE1g5HPawkwUbyncOjgYm4pGHQxqfdI6wuIGyja/s320/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberZweiBanden.jpg" width="169" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 12.8px; text-align: center;">Fig. 4 - Tirada sin efecto a 2 bandas</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
La bola blanca ha de alcanzar la bola roja tras rebotar en dos bandas. ¿Cuál es en este caso la dirección de golpeo correcta en la que debe mantenerse el taco?<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Caso 3:<br />
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: right;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTaf60-yrAOHN7PaHexu0FMvDdvdlN7ucdwwIEzbH8KLxwxm-nWblh4QX5rfPesDCGPlKUHm0o6HH99lUIx4mn8cA7a7dXsTYGIHEcNZpDS0YHC4lH1jFJoORdV_jQ9JlSnjigCdqbBehy/s1600/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberDreiBanden.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="866" data-original-width="460" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTaf60-yrAOHN7PaHexu0FMvDdvdlN7ucdwwIEzbH8KLxwxm-nWblh4QX5rfPesDCGPlKUHm0o6HH99lUIx4mn8cA7a7dXsTYGIHEcNZpDS0YHC4lH1jFJoORdV_jQ9JlSnjigCdqbBehy/s320/TischOhneTaschenZweiKugeln-UeberDreiBanden.jpg" width="169" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 12.8px; text-align: center;">Fig. 5 - Tirada sin efecto a 3 bandas</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
¿Y cuando la tirada ha de realizarse a tres bandas?<br />
<br />
¿La dificultad del tiro varía si se escoge como primera banda de rebote la de la izquierda en lugar de la banda derecha y, como segunda y tercera, la banda de abajo y la de la derecha, respectivamente? ¿Porqué?<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Grupo de cuestiones B: La posición de las dos bolas en la figura 3 parece simétrica. Jan y Anna deducen por ello que el punto de impacto ideal de la bola blanca debe encontrarse seguramente en la mitad de la banda interna derecha.<br />
<br />
¿Sabrías comprobarlo matemáticamente?<br />
<br />
Para ello, podrías situar la superficie de juego y las bolas en un sistema de coordenadas rectangular y asignar, por ejemplo, las coordenadas (0,0), (1,0), (0,2) y (1,2) a las cuatro esquinas (v. Fig. 6), ya que una mesa de billar suele medir el doble de largo que de ancho.<br />
<div style="text-align: left;">
</div>
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgw_5G178E8xxm1QE2onumT4kwi2R9nPA0TfBRKZXsmhzSSqucV9zNUFuTZFUnBMmOqkrKNhY0ya8OHlJaWxilvV7uoCBioPnKR0UWvdo88xP-uX5qcnaSiCfwg1Be6lBYj_pUJmRFkceM/s1600/MesaConCoordenadas.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="831" data-original-width="451" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgw_5G178E8xxm1QE2onumT4kwi2R9nPA0TfBRKZXsmhzSSqucV9zNUFuTZFUnBMmOqkrKNhY0ya8OHlJaWxilvV7uoCBioPnKR0UWvdo88xP-uX5qcnaSiCfwg1Be6lBYj_pUJmRFkceM/s400/MesaConCoordenadas.jpg" width="216" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fig. 6 - Mesa de billar con <br />
sistema de coordenadas</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
Podrás seguir considerando las mismas siguientes condiciones en el modelo matemático:<br />
<ul>
<li>La mesa es perfectamente plana y el impacto se realiza siempre en el centro de las bolas por lo que las bolas se desplazan rectilíneamente y rebotan en las bandas según la ley de la reflexión.</li>
<li>Despreciamos también los efectos del rozamiento entre bolas y mesa, por lo que no tenemos que preocuparnos si se detienen antes de llegar a su meta.</li>
<li>Los bolas pueden considerarse puntuales ya que nos centramos en colisiones sin efecto.</li>
</ul>
<br />
La forma de resolver el problema y calcular el punto de impacto ideal en la banda x = 1 puede escogerse a discreción (según el nivel de conocimientos matemáticos):<br />
<ul>
<li>A partir de 3º de ESO: mediante funciones de primer grado para describir las trayectorias rectas</li>
<li>A partir de 1º de Bachillerato: opcionalmente mediante ecuaciones vectoriales</li>
</ul>
<br />
<br />
<br />
¡A disfrutar!<br />
<br />
Puedes consultar una solución al grupo de cuestiones A en mi <a href="https://mate-fisicsi.blogspot.com.es/2018/02/solucion-problema-geometria-entrenamiento-billar-A.html" target="_blank">entrada de blog dedicada a presentar un método de resolución gráfico</a> muy útil.<br />
La solución a la cuestión B y los pasos de los cálculos correspondientes podrás encontrarlos en la <a href="https://mate-fisicsi.blogspot.com/2018/09/entrenamiento-b-para-el-sentido.html" target="_blank">siguiente entrada de blog</a>.<br />
<div>
<br /></div>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-5293130925422521532018-01-02T11:28:00.000+01:002018-01-02T22:05:11.977+01:00¿Has resuelto los acertijos para empezar bien el año?<span style="font-size: large;">Aquí están las soluciones de los dos <a href="https://mate-fisicsi.blogspot.com.es/2017/12/para-empezar-bien-el-nuevo-ano-2018.html">acertijos matemáticos de ayer</a>.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: x-large;"><b>1)</b></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTLnC3T6Oi1i5v8YCDtrmKQyu8hDLHmrQTQHuL2D9x6XxDA95UuiQemfI3MDc02TQ3fnBczTmjtoVXEdJlYN7Iugf9SQc1RGVGcREn0Jus3BeKcWBbkiMOUZ6WDIK7KrecB0zmbI8Yfko/s1600/Feliz2018-Acertijo.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="511" data-original-width="600" height="340" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTLnC3T6Oi1i5v8YCDtrmKQyu8hDLHmrQTQHuL2D9x6XxDA95UuiQemfI3MDc02TQ3fnBczTmjtoVXEdJlYN7Iugf9SQc1RGVGcREn0Jus3BeKcWBbkiMOUZ6WDIK7KrecB0zmbI8Yfko/s400/Feliz2018-Acertijo.jpg" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;">Se trata pues de resolver un sistema de ecuaciones pictóricas con cuatro imágenes (variables) festivas que pueden representar buena suerte (estrellas), celebración (copas de cava), buen humor (cara sonriente) y felicidad (corazón). Pero el acertijo no nos pide encontrar el valor asignado a cada una de estas imágenes, sino únicamente el valor resultante de la suma de ellas.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Conviene pues mirar primero con cierto detenimiento estas ecuaciones pictóricas para ver si mediante alguna operación sencilla podemos obtener la ecuación suma buscada.</span><br />
<span style="font-size: large;">Y sí, ¡es posible! Lo conseguimos sumando la primera con la tercera ecuación, manteniendo las equivalencias:</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5oI8e9B1bQUYmlDVvA8z_eVcaG4a4_G3ra3YeMgdRF1hRZ7_Z54nXi3DfzrNkylhYVL6ghrHGHUGS4kvpGA7DqGmepW7mDqmjww4DaRImIOS4BVrVKbVREm4_979UOV8jXNQRFHR4oRs/s1600/Soluci%25C3%25B3nAcertijoFeliz2018.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="511" data-original-width="500" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5oI8e9B1bQUYmlDVvA8z_eVcaG4a4_G3ra3YeMgdRF1hRZ7_Z54nXi3DfzrNkylhYVL6ghrHGHUGS4kvpGA7DqGmepW7mDqmjww4DaRImIOS4BVrVKbVREm4_979UOV8jXNQRFHR4oRs/s400/Soluci%25C3%25B3nAcertijoFeliz2018.jpg" width="391" /></a></div>
<br />
<span style="font-size: large;">La solución del acertijo es pues 18 como casi se podía intuir por la presentación del mismo justo antes de entrar en el año 2018.</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Si se ha querido hacer un entrenamiento cerebral más exhaustivo y determinar además el valor asignado a cada una de las imágenes, estas serían las soluciones:</span><br />
<span style="font-size: large;">Estrella = 6</span><br />
<span style="font-size: large;">Copa = 4</span><br />
<span style="font-size: large;">Sonrisa = 3</span><br />
<span style="font-size: large;">Corazón = 5</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<b><span style="font-size: x-large;">2)</span></b><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqYCF_qOc9sySY9NJI9gu_TI9RV1rkOmpR89dKqhpSwOiWggkoPfZ4tpPLxxo7H425GSyji2RQnQ0vG2iuJkU8FvzhAclfYZB1orMoKn5C0ZfY0Mb5HiMk0hwrSYFCkVLiRSIFXYMIX1o/s1600/SangakuAnoNuevo-Alturas.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="630" data-original-width="620" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqYCF_qOc9sySY9NJI9gu_TI9RV1rkOmpR89dKqhpSwOiWggkoPfZ4tpPLxxo7H425GSyji2RQnQ0vG2iuJkU8FvzhAclfYZB1orMoKn5C0ZfY0Mb5HiMk0hwrSYFCkVLiRSIFXYMIX1o/s1600/SangakuAnoNuevo-Alturas.jpg" /></a></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Una forma de resolver este acertijo geométrico consiste en subdividir el triángulo en las siguientes 4 áreas triangulares de mismo tamaño</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPH2gh7iiH22qqbOenS2WKexEXYcEQwJRlYlXzG_k8c99PZDRStLnDLH84Y8TodJV37jM38tj1D-Nr9hP-5quR9heQgpKCnlEpzvzJfwjKhwPKubzZZUYofyxmaBHfeTi1xN5g9foxZnA/s1600/SangakuAnoNuevo-Subdivision1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="620" data-original-width="620" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPH2gh7iiH22qqbOenS2WKexEXYcEQwJRlYlXzG_k8c99PZDRStLnDLH84Y8TodJV37jM38tj1D-Nr9hP-5quR9heQgpKCnlEpzvzJfwjKhwPKubzZZUYofyxmaBHfeTi1xN5g9foxZnA/s320/SangakuAnoNuevo-Subdivision1.jpg" width="320" /></a></div>
<span style="font-size: large;">y ver cómo se subdivide con ellas la parte de color rojo:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1yOGHjA4Qd3F3JG27f-0HrNd9TKPUaX8RhSJWgAkfAFZlsl4JCPLg2HnPSHSL-ej9HRsx-aCI1YgiZ-89BZIFTr4amiKdF3HcHJ1QwGWgqDVB4Zc3vBs64YoIO28OI1f6e0dSYMk6Gdk/s1600/SangakuAnoNuevo-Subdivision2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="620" data-original-width="620" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1yOGHjA4Qd3F3JG27f-0HrNd9TKPUaX8RhSJWgAkfAFZlsl4JCPLg2HnPSHSL-ej9HRsx-aCI1YgiZ-89BZIFTr4amiKdF3HcHJ1QwGWgqDVB4Zc3vBs64YoIO28OI1f6e0dSYMk6Gdk/s320/SangakuAnoNuevo-Subdivision2.jpg" width="320" /></a></div>
<span style="font-size: large;">Al ser la línea que separa las áreas A y B </span><span style="font-size: large;"><b>mediatriz</b> (recta perpendicular a un lado que divide a éste en dos partes iguales) y a la vez <b>mediana</b> (segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto) y <b>altura</b> (perpendicular a un lado y que tiene su extremo en el vértice opuesto) del triángulo de la izquierda, se tiene que A=B, siendo A la mitad de grande que dicho triángulo equilátero izquierdo. </span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Además, se deduce del dibujo que las áreas C y D tienen también el mismo tamaño que A.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Puesto que A es la mitad de grande que uno de los 4 triángulos internos y, por tanto, igual a una octava parte del área total T del gran triángulo del Sangaku, tenemos que el área </span><span style="font-size: large;">de la parte de color rojo es pues:</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">P</span><span style="font-size: x-small;">rojo</span><span style="font-size: large;"> = B + C + D + e = 3T/8 + e</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;">El área e la podemos determinar fácilmente fijándonos en el triángulo equilátero del centro:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGbByHKX67UdZnmgrEBB0NWhW46j1qWCQlZ5fVuqHxnZCbjJ0iyz9Loc1YaLtEBgFNR6kf7JOu2P2yjxqJD_bd7v2XZwq3QVAEpxmrv3S41PjXvEdiovIKmekYydMNpoJdRv8YWCqPOvg/s1600/SangakuAnoNuevo-Subdivision3-TrozoSe90.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="620" data-original-width="620" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGbByHKX67UdZnmgrEBB0NWhW46j1qWCQlZ5fVuqHxnZCbjJ0iyz9Loc1YaLtEBgFNR6kf7JOu2P2yjxqJD_bd7v2XZwq3QVAEpxmrv3S41PjXvEdiovIKmekYydMNpoJdRv8YWCqPOvg/s320/SangakuAnoNuevo-Subdivision3-TrozoSe90.jpg" width="320" /></a></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Vemos que los trozos e+S forman un triángulo simétrico al triángulo C y que tienen por tanto juntos el mismo área que C o A.</span><br />
<span style="font-size: large;">Además, vemos que el vértice interno de S es el punto de intersección de las 3 mediatrices del triángulo equilátero interno, por lo que se situa a un tercio de un lado y dos tercios del vértice opuesto, siendo el área S igual a un tercio del área de dicho triángulo equilátero:</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">S = 1/3 * T/4 = T/12 (donde T es el área del triángulo del <i>sangaku</i>)</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Por consiguiente</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">e = C - S = T/8 - T/12 </span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;">y el área de la parte roja es:</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">P</span><span style="font-size: x-small;">rojo</span><span style="font-size: large;"> = 3T/8 + e = 3T/8 + T/8 - T/12 = 6T/12 - T/12 = 5T/12</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;">Por tanto, la respuesta a la cuestión planteada por el <i>sangaku</i> es: <b>5/12</b>.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Espero que hayáis disfrutado con estos acertijos matemáticos.</span>Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-73874918002239262802017-12-31T19:36:00.000+01:002018-01-02T21:57:39.740+01:00Para empezar bien el nuevo año 2018<span style="font-size: large;">Un poco de <i>jogging</i> matemático siempre va bien para estar en forma y empezar además bien el año. Para ello, propongo dos acertijos.</span><br />
<span style="font-size: large;">En primer lugar, un acertijo refrescante que ya pueden intentar resolver alumnos de 2º de ESO. Se trata de agudizar la vista matemática para responder a la siguiente pregunta de inicio de año:</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEip_OAJ9MJI8T7cYGaRl7nIrb-4j6IA_Svsx6BlVU-46ulUBd84sX8GMRBxfb9A9F0_v_nAsjUiRkhLDNWn89ieVp-4-SzLbnSKizVE6TgGES0xsV_PuI_0DhN_BUgRY9duFaNZFTGewMM/s1600/Feliz2018.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="511" data-original-width="600" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEip_OAJ9MJI8T7cYGaRl7nIrb-4j6IA_Svsx6BlVU-46ulUBd84sX8GMRBxfb9A9F0_v_nAsjUiRkhLDNWn89ieVp-4-SzLbnSKizVE6TgGES0xsV_PuI_0DhN_BUgRY9duFaNZFTGewMM/s1600/Feliz2018.jpg" /></a></div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<span style="font-size: large;">Y para estar aún mejor en forma, propongo también un <i>sangaku</i> de inicio de año (<a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sangaku"><b><i>sangaku</i></b></a> = nombre japonés para designar tablilla matemática) de inicio de año:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3dv3S94JEQTdQmLartrp-s8tmXzOEiFCSM4O-fZUO-MaoL_u7vRNMzA8Q8GniJx4yJoxOEfsCeowXv-m5jIHRtcyQgE2eoOh-JuKE8WWeMn_9Vi_mXXDVdbTH5j1qSPKVY6m5Ug2ok-U/s1600/SangakuAnoNuevo2018.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="660" data-original-width="620" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3dv3S94JEQTdQmLartrp-s8tmXzOEiFCSM4O-fZUO-MaoL_u7vRNMzA8Q8GniJx4yJoxOEfsCeowXv-m5jIHRtcyQgE2eoOh-JuKE8WWeMn_9Vi_mXXDVdbTH5j1qSPKVY6m5Ug2ok-U/s1600/SangakuAnoNuevo2018.jpg" /></a></div>
<br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Mañana publicaré las <a href="https://mate-fisicsi.blogspot.com.es/2018/01/has-resuelto-los-acertijos-para-empezar.html">soluciones</a>.</span><br />
<span style="font-size: large;">¡Buen Año!</span>Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-3546933273599550792017-04-12T13:56:00.000+02:002017-04-12T13:58:49.396+02:00Fechas de convocatoria para la Selectividad 2017<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0skwKv7GIVJRgM-qA6rzJmsoXn0aaNfgNc4AJQqpirOKhO6Zg6oPO7RqUwqpr_QMyBu_G15_0lpJLrYAvNlwwubDZ3cOBl_9UzcOrRcbhZtdpW6o9N3xLvR4_OCfO3qT_cRVowHvpHOA/s1600/MafaldaSelectividad2017.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0skwKv7GIVJRgM-qA6rzJmsoXn0aaNfgNc4AJQqpirOKhO6Zg6oPO7RqUwqpr_QMyBu_G15_0lpJLrYAvNlwwubDZ3cOBl_9UzcOrRcbhZtdpW6o9N3xLvR4_OCfO3qT_cRVowHvpHOA/s1600/MafaldaSelectividad2017.jpg" /></a></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<h2>
<span style="font-size: large;">
¡Ya se han hecho públicas las fechas de convocatoria para las pruebas de selectividad de 2017!</span></h2>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<a name='more'></a><br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">En Cataluña, las fechas en las que tendrán lugar la PAU son:</span></div>
<div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">en el caso de la <b>convocatoria ordinaria</b>, el <b>13, 14 y 15 de junio</b></span></div>
<div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">y en el de la <b>convocatoria extraordinaria</b>, el <b>5, 6 y 7 de septiembre</b>.</span></div>
<div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<h3>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Así que, ¡ve preparándote ya!</span></h3>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-51272687678480930302014-06-28T11:41:00.001+02:002014-06-28T11:41:58.536+02:00Sin Números<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">De repente, algo inexplicable ...</span><br />
<br />
<em style="background-color: white; color: #333333; line-height: 23.799999237060547px;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Su sorpresa inicial se convierte en angustia cuando descubre que el mundo tal como lo conoce se está colapsando. A través de los medios de comunicación, Sofía es testigo de las terribles consecuencias que tiene que afrontar una sociedad más dependiente de los números de lo que nos podemos imaginar.</span></em><br />
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Así se presenta el vídeo "Sin números" que acaba de producir un taller de documentales de la Universidad de Zaragoza.</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="" height="281" mozallowfullscreen="" src="//player.vimeo.com/video/96893589" webkitallowfullscreen="" width="500"></iframe><br />
<br />
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">En la <a href="http://www.aragoninvestiga.org/investigadores-de-la-universidad-de-zaragoza-presentan-sus-documentales-cientificos/">presentación del vídeo</a>, se dice también:</span></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<em style="background-color: white; color: #333333; font-family: sans-serif; line-height: 23.799999237060547px;">Todas esas situaciones dan lugar a un escenario de ciencia-ficción en el que las catástrofes esperables encuentran un desenlace sorprendente, en un documental elaborado por Marta Alcolea Gracia, del <a href="http://www.unizar.es/departamentos/ciencias_antiguedad/profesorado.html" style="border-bottom-color: rgb(187, 187, 187); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; text-decoration: none;" target="_blank">Departamento de Ciencias de la Antigüedad,</a> Fernando Almazán Román, del <a href="http://ina.unizar.es/" style="border-bottom-color: rgb(187, 187, 187); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; text-decoration: none;" target="_blank">Instituto de Nanociencia de Aragón</a>, <a href="http://dialnet.unirioja.es/servlet/autor?codigo=148082" style="border-bottom-color: rgb(187, 187, 187); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; text-decoration: none;" target="_blank">Fernando Corbalán Yuste</a>, profesor colaborador extraordinario, del Departamento de Métodos Estadísticos, <a href="http://cud.unizar.es/alozano" style="border-bottom-color: rgb(187, 187, 187); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; text-decoration: none;" target="_blank">Álvaro Lozano Rojo</a>, profesor del Centro Universitario de la Defensa Zaragoza; Carlos Mazo Pérez, profesor titular del Departamento de Ciencias de la Antigüedad y María Palmira Vélez Jiménez, profesora Titular del <a href="http://hmc.unizar.es/" style="border-bottom-color: rgb(187, 187, 187); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; text-decoration: none;" target="_blank">Departamento de Historia Moderna y Contemporánea</a>.</em></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Más información:</span></div>
<div style="text-align: left;">
</div>
<ul>
<li><a href="http://www.aragoninvestiga.org/investigadores-de-la-universidad-de-zaragoza-presentan-sus-documentales-cientificos/"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Investigadores de la Universidad de Zaragoza presentan sus documentales científicos</span></a></li>
<li><a href="http://zaguan.unizar.es/record/14306/"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Página del vídeo</span></a></li>
</ul>
<br />
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Noticia vista en el blog <a href="http://ztfnews.wordpress.com/2014/06/28/sin-numeros-el-mundo-seria-un-caos/">ZTFNews</a> </span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
</div>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-21421673926355948392014-06-22T01:02:00.000+02:002014-06-24T01:40:31.257+02:00No es tanta casualidad<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEix6Da4MBHtW7LOjHHEBGSs4Yc0tSJqdFkh8W5AJcbkXzmB2vzkH82tynF0kOGWBqBrCyntMRo5dOqE67EuRC5SGaYC_Eewz0CIDF1d0smD6qVhWQL79HCjLOBdmdga2prsISWOhHMbobae/s1600/SantJoanPlatja.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEix6Da4MBHtW7LOjHHEBGSs4Yc0tSJqdFkh8W5AJcbkXzmB2vzkH82tynF0kOGWBqBrCyntMRo5dOqE67EuRC5SGaYC_Eewz0CIDF1d0smD6qVhWQL79HCjLOBdmdga2prsISWOhHMbobae/s1600/SantJoanPlatja.jpg" height="315" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Fiesta_de_San_Juan">Verbena de Sant Juan</a> en una playa en Cataluña</td></tr>
</tbody></table>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Hoy se produce el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Solsticio_de_verano">solsticio de verano</a> y ya pueden oirse los estallidos de algunos petardos, aunque aún no es mediodía. Ya se nota cierto ambiente festivo - a pesar de que aún faltan dos días para la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Fiesta_de_San_Juan">verbena de San Juan</a> - y seguramente no podremos dormir mucho durante esta noche corta y calurosa. Así que seguro que encontraremos algo de tiempo para resolver esta cuestión de lógica y matemática básica. </span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i>Dos mujeres se encuentran en la calle y aprovechan la ocasión para hablar de esto y aquello. Al cabo de un rato, una de ellas dice:</i></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><br /></i></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i>- Oye, me gustaría plantearte una cuestión - es que sé que eres profesora de matemáticas. Resulta que hoy no es sólo el día de solsticio de verano, sino que además un día muy especial para mí. Tres de mis cuatro hijos cumplen hoy años. Podrías decirme la edad que tienen si te digo que al multiplicar las edades de los tres menores se obtiene 36.</i></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><br /></i></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i>- Claro que sí. Pero me tienes que decir algo más sobre tus hijos.</i></span><br />
<i style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></i>
<i style="font-family: Verdana, sans-serif;">- Tienes razón. Si sumo las edades de mis cuatro hijos, obtengo el número del día de hoy, es decir, 21.</i><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><br /></i></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i>La matemática piensa unos instantes y dice seguidamente:</i></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><br /></i></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i>- Necesito un dato más.</i></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i>- De acuerdo. No es tanta casualidad.</i></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><br /></i></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Os deseo una muy buena entrada en el verano ;-)</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit;">(<a href="https://drive.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0Tod2x5ZVFVNXFfZEU/edit?usp=sharing"><span style="font-family: inherit; font-size: x-small;">AQUÍ</span></a> puede encontrarse una respuesta a la cuestión planteada)</span><br />
<span style="font-family: inherit;"><br /></span>
<span style="background-color: white; color: #333333; font-family: Georgia, 'Bitstream Charter', serif; font-size: 16px; font-style: italic; line-height: 24px;">Esta entrada participa en la </span><a href="http://pimedios.es/2014/06/15/edicion-5-5-ronald-fisher/%20" style="background: rgb(255, 255, 255); border: 0px; color: #2a700d; font-family: Georgia, 'Bitstream Charter', serif; font-size: 16px; font-style: italic; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">Edición 5.5: Ronald Fisher</a><span style="background-color: white; color: #333333; font-family: Georgia, 'Bitstream Charter', serif; font-size: 16px; font-style: italic; line-height: 24px;"> del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es </span><a href="http://pimedios.es/" style="background: rgb(255, 255, 255); border: 0px; color: #25630b; font-family: Georgia, 'Bitstream Charter', serif; font-size: 16px; font-style: italic; line-height: 24px; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">pimedios</a><span style="background-color: white; color: #333333; font-family: Georgia, 'Bitstream Charter', serif; font-size: 16px; font-style: italic; line-height: 24px;">.</span>Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-74709457236169657952013-08-12T16:07:00.002+02:002014-05-22T22:04:38.897+02:00Diversión con pasatiempos geométricos en la playaAhora que estamos en verano, tenemos una buena ocasión para divertirnos con algo de geometría en la playa. Se pueden hacer unos castillos de arena geométricos muy bonitos, como nos lo demuestra también <a href="http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/">Calvin Seibert</a>.<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7mXhZABjXER9NFS2INT07nlW8NJ48fYlCPdZZ5ZV9rwy8P38gHkm0-abShPwdpF76t1bgtXC0mtCl3BXnUXfDtrjyvPvxasEgIyFnjMCn0GmPxWGwyn0dpMxmzMuJsn8Rl7xj9glRP5Th/s1600/SandCastle1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7mXhZABjXER9NFS2INT07nlW8NJ48fYlCPdZZ5ZV9rwy8P38gHkm0-abShPwdpF76t1bgtXC0mtCl3BXnUXfDtrjyvPvxasEgIyFnjMCn0GmPxWGwyn0dpMxmzMuJsn8Rl7xj9glRP5Th/s400/SandCastle1.jpg" height="300" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 13px;"><a href="http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/">http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/</a></td></tr>
</tbody></table>
Él los construye a lo largo de todo el año y suele combinar ingeniosamente diversas formas geométricas, pero también hace construcciones llamativas juntando únicamente paralelepípedos de arena bien compactos.<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjd77bPh_uke8kUQrVsdvd1pFYIOY3LUmsamEyAY308qEo-WT90i7lJHOe3LrdvXQ2i7cwRW7wshHrCrDfs5maGVrWqXgNqJV_SB7IhNVtNlNxr9U9H6RKCP8i1wUXzLqychRAgnGYUdNMk/s1600/SandcastleCalvinSeibert2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjd77bPh_uke8kUQrVsdvd1pFYIOY3LUmsamEyAY308qEo-WT90i7lJHOe3LrdvXQ2i7cwRW7wshHrCrDfs5maGVrWqXgNqJV_SB7IhNVtNlNxr9U9H6RKCP8i1wUXzLqychRAgnGYUdNMk/s400/SandcastleCalvinSeibert2.jpg" height="300" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 13px;"><a href="http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/">http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/</a></td></tr>
</tbody></table>
Al observar estas construcciones o intentar construir unas similares, surgen muchas preguntas que requieren algo de ingenio y ayudan a activar las neuronas mientras uno se divierte. Algunas de ellas son, por ejemplo, estas cuatro:<br />
<div>
<div style="text-align: center;">
<u>ACERTIJO 1</u></div>
<div>
Para empezar, pueden hacerse unas construcciones sencillas de arena formadas a partir de la colocación ingeniosa de 6 paralelepípedos de más o menos el mismo tamaño. La colocación tiene que cumplir unas condiciones a la vez que se considerará lo siguiente:</div>
<div>
Un paralelepípedo se une a otro para formar otro paralelepípedo u otro cuerpo escalonado más grandes siempre que una cara o parte de la cara de un paralelepípedo entra en contacto con una cara o parte de una cara de otro paralelepípedo. Si se tocan únicamente en una esquina o arista, entonces se considera que los paralelepípedos en cuestión no se unen entresí formando un nuevo cuerpo.</div>
<div>
Caso 1: ¿Cómo pueden disponerse 6 paralelepípedos para que cada uno de ellos se una con dos y sólo dos paralelepípedos?</div>
<div>
Caso 2: ¿Cómo pueden disponerse 6 paralelepípedos para que cada uno de ellos se una con tres y sólo tres paralelepípedos?<br />
Caso 3: ¿Cómo pueden disponerse 6 paralelepípedos para que cada uno de ellos se una con cuatro y sólo cuatro paralelepípedos?</div>
<div>
<div style="text-align: center;">
<u>ACERTIJO 2</u><br />
<div style="text-align: left;">
En la figura siguiente puede verse un paralelepípedo grande formado a partir de 6 paralelepípedos (cubos, si las aristas tienen todas la misma longitud) pequeños de arena. La pieza entramada de la esquina se construyó en primer lugar poniendo en contacto cuatro cubos de arena. Esta primera pieza puede haberse formado de 2 formas. ¿Cuáles son?</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKf53ltm7CDJtFAxJAr2xVDUfH-PNqOPVMror9iyHHfJRaxyn7MYIGyt1LZh0gVPSBHvApmRRGU3dczALaKlOe9Ny3i5thyL4ANv69w7EN0QKkQmspnWiJjJJYjNMw_ES5AWvclaCqwIeq/s1600/SandQuader.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKf53ltm7CDJtFAxJAr2xVDUfH-PNqOPVMror9iyHHfJRaxyn7MYIGyt1LZh0gVPSBHvApmRRGU3dczALaKlOe9Ny3i5thyL4ANv69w7EN0QKkQmspnWiJjJJYjNMw_ES5AWvclaCqwIeq/s400/SandQuader.jpg" height="400" width="296" /></a></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<u>ACERTIJO 3</u></div>
</div>
<div>
En los cuerpos platónicos se cumple una relación matemática entre número de esquinas E, número de caras C y número de aristas A.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: center;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjzXhe8UldaK2Iv4DOS2zVyjYfIs4AcYlPavNQnvNA08o0m8X1z8aQ-F_31mirPx34FAFeYIrm0yZIcK0dPDJuj25cV-zBzUZxnTVzLb7myvLrgDy3BU2yDV2M5GGb8rilL2Tgm6K8GS84/s1600/CuerposPlatonicosCorregido.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjzXhe8UldaK2Iv4DOS2zVyjYfIs4AcYlPavNQnvNA08o0m8X1z8aQ-F_31mirPx34FAFeYIrm0yZIcK0dPDJuj25cV-zBzUZxnTVzLb7myvLrgDy3BU2yDV2M5GGb8rilL2Tgm6K8GS84/s1600/CuerposPlatonicosCorregido.jpg" height="271" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Cuerpos platónicos</td></tr>
</tbody></table>
<br /></div>
Esta relación se cumple de hecho también en otros cuerpos geométricos como, por ejemplo, paralelepípedos, prismas, pirámides, etc. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: center;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqxFaz_OJ-az9_kp-iaJvfik4Ybvk0_Jy2rh_S0KH21rgVgTPtRuvhBpg9-vh1XwCBXgo5AIygWf59T_0GMN6G9UKPe_qjfiAZTJsUcA8KRSdUCCnmuJRu6clCsYN5MVmO9ax8_5t8VDA/s1600/cuerposGeom.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqxFaz_OJ-az9_kp-iaJvfik4Ybvk0_Jy2rh_S0KH21rgVgTPtRuvhBpg9-vh1XwCBXgo5AIygWf59T_0GMN6G9UKPe_qjfiAZTJsUcA8KRSdUCCnmuJRu6clCsYN5MVmO9ax8_5t8VDA/s320/cuerposGeom.jpg" height="302" width="320" /></a></div>
<br /></div>
<div>
¿Qué expresión matemática tiene esta relación entre esquinas, caras y aristas?<br />
¿Se cumple también en un cuerpo con forma de escalera como el que se ilustra a continuación (o como en el que se puede ver en el castillo de arena de la primera fotografía)?</div>
<div>
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi2m5AZezFBBQ0Kihyphenhyphenq9NyERiOa6sZ37tfXMwkCvuI8_W5Mqq5sPozuNsHaHiR0ctypA_Cpmp0_JdQ2ucJ4EJ2tVhPjp2SCy9UUCowTLE18V7iL3zz3Y7uZZf_8X0PPmVkhTZuufJI5o4m_/s1600/Treppengebilde.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi2m5AZezFBBQ0Kihyphenhyphenq9NyERiOa6sZ37tfXMwkCvuI8_W5Mqq5sPozuNsHaHiR0ctypA_Cpmp0_JdQ2ucJ4EJ2tVhPjp2SCy9UUCowTLE18V7iL3zz3Y7uZZf_8X0PPmVkhTZuufJI5o4m_/s1600/Treppengebilde.jpg" /></a></div>
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<u>ACERTIJO 4</u></div>
<div>
Se tienen únicamente dos cubos de plástico para coger y dosificar la arena necesaria: uno de tres litros y otro de cuatro litros. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: center;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEw52nwhvccNouGe9-pGmtDE4pczzyzdcqF8rabmmG_78uKn_ZTAaZRPSusVLUpsZhnQqJD9XGwsixRkfn0tuRWdmhBGD0R0I4M6p1wLpGO2kEV218KwYGB6cj43pLzPv0Oxk8szpi1Es/s1600/cubos.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEw52nwhvccNouGe9-pGmtDE4pczzyzdcqF8rabmmG_78uKn_ZTAaZRPSusVLUpsZhnQqJD9XGwsixRkfn0tuRWdmhBGD0R0I4M6p1wLpGO2kEV218KwYGB6cj43pLzPv0Oxk8szpi1Es/s320/cubos.jpg" height="186" width="320" /></a></div>
<br /></div>
<div>
Sin embargo, se necesita disponer ahora de exactamente 1 litro de arena para construir un cubo de 10cm de arista. ¿Es posible conseguirlo con estos dos cubos? Y si es posible, ¿cómo?<br />
Es decir, ¿qué habría que hacer para llegar a tener exactamente 1 litro de arena en uno de estos cubos de plástico?</div>
<div style="text-align: center;">
<br />
<div style="text-align: left;">
(<a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToMEszdEdxUk9tVzA/edit?usp=sharing">ver soluciones</a>)</div>
</div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
</div>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-56234518648334716632013-08-04T12:14:00.000+02:002013-08-12T17:04:07.093+02:00Física en la piscina<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: center;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwmBZQyD3VvCOY3OhICBw68zJeh4vIL9MCSMOcXUUEZG4s-GqfHbJTBX6hkZvvgWAkaJaZZWGtWWYupPocYTMGlslku7kevaP9ZX2oMpqkqhN-VHDWR9O3UBW190JmC1NT6kfUSpRxfzU/s1600/PiscinaConBoteG.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="330" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwmBZQyD3VvCOY3OhICBw68zJeh4vIL9MCSMOcXUUEZG4s-GqfHbJTBX6hkZvvgWAkaJaZZWGtWWYupPocYTMGlslku7kevaP9ZX2oMpqkqhN-VHDWR9O3UBW190JmC1NT6kfUSpRxfzU/s400/PiscinaConBoteG.jpg" width="400" /></a></div>
<br /></div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Aquí una pregunta de física diaria para estos días tan calurosos de agosto, en los que apetece <a href="http://mate-fisicsi.blogspot.com.es/2013/07/retazos-de-fisica-viendo-los-mundiales.html">nadar o estar muy cerca del agua</a>:</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Un grupo de niños y niñas está divirtiendose en la pequeña piscina casi circular de aproximadamente 5 metros de diámetro. Han puesto a flotar en ella un pequeño bote inflable, lo han llenado con 40 piedras pesadas, se han subido al bote y, tras muchas risas, han empezado a tirar las piedras en la piscina. Uno de ellos se quedó fuera de la piscina y se quedó todo sorprendido mirando la superficie del agua.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">¿Porqué? ¿Cómo varía el nivel del agua?</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">¿Cuándo es más alto? Cuándo las piedras están en el bote o cuando están en el fondo de la piscina?</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Si tras pensar en el efecto del desplazamiento de agua por bote, niños y piedras, en el <a href="http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/arquimedes/arquimedes_indice1.htm">principio de Arquímedes</a> y el <a href="http://mate-fisicsi.blogspot.com.es/2013/07/retazos-de-fisica-viendo-los-mundiales.html">efecto del empuje</a>, quieres comprobar también experimentalmente como se comporta el nivel, pero no quieres llenar la piscina con piedras o no tienes ninguna piscina pequeña a tu disposición, puedes hacer un experimento similar con un vaso (si es graduado, mejor) u otro recipiente lleno de agua (representan la piscina), un tapón de plástico suficientemente hondo para que no se llene de agua al cargarlo (representa el bote) y una, dos o tres monedas (representan las piedras más pesadas o densas que el agua).</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">¿Te ha sorprendido el resultado del experimento?</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">o ¿acertaste con la respuesta antes de realizar el experimento?</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToMkdHdkJranRqZGs/edit?usp=sharing">Aquí</a> puedes encontrar unos cálculos que respaldan y explican lo observado.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><u style="font-size: small;">Nota</u><span style="font-size: x-small;">: esta pregunta de física diaria es un ejemplo de pregunta curiosa que plantean a veces los seleccionadores en una entrevista de trabajo para poner a prueba el ingenio y rapidez mental de los postulantes.</span></span>Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-57664422571831493202013-07-30T00:14:00.000+02:002013-07-30T00:14:07.159+02:00Retazos de física viendo los mundiales de natación<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBdYq20FJ599RgFnBzOXpMe8vM3jhutngRncwETr2xZ_qcKKg2CZ0vwhGGbuSon9rxBazQizxnPbVRtgC4FhmKZZeshXtKIXzxZfQS80kcOH0hrTxtFWE3ien-hfTFKHl9naT49K3BGRHi/s1600/MundialesNatacionBCN2013.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="288" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBdYq20FJ599RgFnBzOXpMe8vM3jhutngRncwETr2xZ_qcKKg2CZ0vwhGGbuSon9rxBazQizxnPbVRtgC4FhmKZZeshXtKIXzxZfQS80kcOH0hrTxtFWE3ien-hfTFKHl9naT49K3BGRHi/s400/MundialesNatacionBCN2013.jpg" width="400" /></a></div>
<br />
Se está celebrando ahora el XV campeonato mundial de natación en Barcelona: un buen momento para plantearse algunas ideas sobre la física en la natación.<br />
<br />
La natación es una actividad deportiva que se desarrolla a través de la interacción del nadador con el agua y esta interacción puede analizarse físicamente considerando básicamente los siguientes aspectos:<br />
- el empuje que posibilita la flotación y que actúa en sentido vertical y hacia arriba;<br />
- la propulsión que empuja el cuerpo hacia delante y que se consigue moviendo adecuadamente los brazos y las piernas;<br />
- la resistencia del agua que actúa en contra del avance del cuerpo.<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<u>EL EMPUJE</u></div>
Las personas podemos conseguir fácilmente flotar sobre la superficie del agua gracias a la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_de_empuje">fuerza de empuje</a> que aparece cuando se sumerge un cuerpo en un fluido (líquido o gas). Un cuerpo flota cuando su peso P es igual en magnitud al empuje E. Si, en cambio el peso del cuerpo es superior al empuje (P>E), el cuerpo baja hasta el fondo, es decir, se hunde. Según el <a href="http://esoesciencia.isdata.es/index.php?option=com_content&view=article&id=169:principio-de-arquimedes&catid=40:fuerzas&Itemid=64">principio de Arquímedes</a>, la fuerza de empuje E, que actúa hacia arriba, es igual en magnitud al peso del volumen de fluido (agua) desalojado por el cuerpo:<br />
<div>
E = D<span style="font-size: xx-small;">A</span>·V<span style="font-size: xx-small;">AD</span>· g</div>
<div>
(densidad del agua por volumen de agua desalojada (= volumen de la parte del cuerpo sumergida en agua) por la constante de atracción de la tierra)</div>
<div>
El peso, que actúa hacia abajo, viene dado según<a href="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Fisica/02/leyes.html"> la segunda ley de Newton</a> por:</div>
<div>
P = m·g = D<span style="font-size: xx-small;">C</span>·V<span style="font-size: xx-small;">C</span>· g</div>
<div>
(densidad media del cuerpo por volumen total del cuerpo por constante de atracción de la tierra)<br />
Por consiguiente, el cuerpo flota a un nivel en el que desplaza exactamente el agua suficiente para que: E (fuerza de empuje ascendente) = P (fuerza peso descendente)</div>
<div>
<br />
Las densidades juegan por tanto un papel clave: si el cuerpo tiene una densidad media menor a la del agua (D<span style="font-size: xx-small;">A</span>= 1000kg/m3 si es agua dulce y ~1025kg/m3 si es agua salada), flotará en la superficie, porque su peso es menor que el del agua desplazada por todo su volumen. Esto se cumple generalmente en el caso del cuerpo humano (densidad media ~ 970kg/m3). No obstante, l@s nadador@s que tienen huesos más pesados y una capacidad de aire contenido menor, al tener una densidad corporal mayor, se hunden algo más en el agua, aunque siguen flotando, y esto es una desventaja en las competiciones de natación.<br />
Para una buena utilización del empuje y mejorar la velocidad al nadar y el aguante, la posición del cuerpo en el agua es también decisiva. Hay que tener aquí en cuenta que hay dos puntos de aplicación de fuerza: el centro de gravedad (CG) y el centro de flotación (CF).<br />
El centro de gravedad CG, que representa la posición media de toda la masa del cuerpo y es el punto de aplicación de la fuerza de gravedad o peso, se encuentra en el ser humano, cuando está en posición recta y con los brazos pegados a los costados, aproximadamente a la altura del ombligo debido a que la zona de las piernas tiene una mayor densidad que la de los pulmones llenos de aire. Una característica del centro de gravedad es que si, por ejemplo, se coloca verticalmente debajo de él una cuña de balanceo, el cuerpo se mantiene en equilibrio porque el peso está ditribuido equitativamente a los dos lados de la vertical (véase la siguiente imagen).<br />
El centro de flotación CF es el centro de gravedad del volumen del líquido desplazado (igual al volumen de la parte sumergida del cuerpo) que coincide con el centro geométrico del volumen (por ser la densidad uniforme en todo este volumen de agua desplazada) y es el punto de aplicación de la fuerza de empuje ascendente. En el ser humano flotando en agua, su posición se encuentra en una posición más próxima al centro del pecho.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8Ss5-V-T1jA4vQd6g1O4b8qcg2ecoMPUjJ-TCz9T95GgtbIhYpYIF7r5gs2RfycTRgbBSWXQFy8Er9nI0AD_PNqrk4UYxDbWrcgvchOuwa42UaF-mIQDXME9EYwr-wI0WBFI4h7cGDZQ/s1600/CentroGrav.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8Ss5-V-T1jA4vQd6g1O4b8qcg2ecoMPUjJ-TCz9T95GgtbIhYpYIF7r5gs2RfycTRgbBSWXQFy8Er9nI0AD_PNqrk4UYxDbWrcgvchOuwa42UaF-mIQDXME9EYwr-wI0WBFI4h7cGDZQ/s1600/CentroGrav.jpg" /></a></div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwxrHkR1VAy5anYfSItdINChLbxvXvMZqZS8-ICoNqQ_BtWDT7pZGZm2RqDLfLzNmdk9Y7kG7lphVYt-WtO2UWbmTsFhaV_NPBIuqixFjZQoSbPfcwP_eixV7LLhRTtZtib2YuhO93zI4/s1600/CentroPesoFlotacion.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwxrHkR1VAy5anYfSItdINChLbxvXvMZqZS8-ICoNqQ_BtWDT7pZGZm2RqDLfLzNmdk9Y7kG7lphVYt-WtO2UWbmTsFhaV_NPBIuqixFjZQoSbPfcwP_eixV7LLhRTtZtib2YuhO93zI4/s1600/CentroPesoFlotacion.jpg" /></a></div>
<br />
Cuando el centro de gravedad y flotación no se encuentran sobre la misma línea de aplicación vertical (casos a y b en la figura), se produce un movimiento rotatorio con el que se hunden más las piernas (parte más pesada del cuerpo) hasta que el centro de gravedad y el de flotación se hallan en la vertical (caso d).<br />
Pero se nada mal y avanza muy poco cuando las piernas cuelgan hacia abajo (en esta posición se aumenta la resistencia del agua).<br />
Para evitar el hundimiento de las piernas, se recomienda respirar abdominalmente y no torácicamente para desplazar así el centro de flotación más hacia el nivel del ombligo. Otra forma para conseguir una flotación más horizontal consiste en estirar los brazos por encima de la cabeza, consiguiéndose así que el centro de gravedad se acerque más al centro del pecho y coincida casi con el centro de flotación (caso d), anulándose por tanto prácticamente la tendencia al giro.</div>
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<u>PROPULSIÓN Y RESISTENCIA</u></div>
<div>
Para avanzar en el agua, el deportista tiene que empujar agua para "rebotar" en sentido opuesto. Es decir, tiene que hacer uso del <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton">principio de acción y reacción descrito por la tercera ley de Newton</a>. Con la realización de unos movimientos de brazos y piernas según una técnica de natación optimizada, puede conseguir que éstos le proporcionen la máxima propulsión con la menor resistencia posible. En la natación a braza, por ejemplo, tiene que moverse de forma que la fuerza que ejerce sobre el agua sea máxima cuando desplaza los brazos hacia atrás y mínima cuando los vuelve a estirar hacia delante para poder volver a empujar hacia atrás en la siguiente brazada.</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcqvyh6JWOhaZxn3qJhHxQvr1ozG-l_MuaR8QKcgdxoU93TmcGtpJ7qr-4hHPeXjySdiT7f4b1f3wW5loiJpgIJbZ9Fgb-by96JnvBfRSGJSe9uU8NrxRrEqLkCwVss_cj8H-RlgcoF9xe/s1600/Brustschwimmen.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="189" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcqvyh6JWOhaZxn3qJhHxQvr1ozG-l_MuaR8QKcgdxoU93TmcGtpJ7qr-4hHPeXjySdiT7f4b1f3wW5loiJpgIJbZ9Fgb-by96JnvBfRSGJSe9uU8NrxRrEqLkCwVss_cj8H-RlgcoF9xe/s320/Brustschwimmen.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 13px;">Movimiento de brazos y piernas en la natación a braza</td></tr>
</tbody></table>
<div>
Esto lo consigue orientando transversalmente las palmas de sus manos con respecto a la dirección de desplazamiento y poniéndolas en forma de cuchara cuando las desplaza enérgicamente hacia atrás (fase de tirón). En cambio, en la fase de recobro o retorno, debe procurar que la superficie frontal de manos y brazos sea la mínima posible para que la resistencia del agua y el frenado sean lo más pequeños posibles.</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhceyPWJYOhy6BTiNPTNPGrj5WQ-trk7jcGTwjykKaVXiG-TBMni90rjud0QETEg6GvBJAYb-jGvZoj2EvZRMbpIWvULXAmjQBMKycdlQpXnCWjtn0oFKOaX7Bpj6GyukyXiKTSoIlS2aYO/s1600/Brustschwimmen2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="301" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhceyPWJYOhy6BTiNPTNPGrj5WQ-trk7jcGTwjykKaVXiG-TBMni90rjud0QETEg6GvBJAYb-jGvZoj2EvZRMbpIWvULXAmjQBMKycdlQpXnCWjtn0oFKOaX7Bpj6GyukyXiKTSoIlS2aYO/s320/Brustschwimmen2.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 13px;">Posición de manos para reducir la resistencia en la fase de recobro</td></tr>
</tbody></table>
<div>
Para disminuir la resistencia del agua y su efecto de frenado, pueden tomarse de hecho distintas medidas según el tipo de resistencia::</div>
<div>
Para minimizar la resistencia por rozamiento, que depende de la estructura superficial del cuerpo en movimiento y que se origina por el agarre de particulas de agua a la superficie del nadador, puede utilizarse un gorro de baño o optarse por el rasurado de la cabeza, utilizarse un traje de baño de baja fricción e incluso someterse a un afeitado corporal.</div>
<div>
Las resistencias de forma y al flujo, que depende de la forma del cuerpo y de los remolinos de agua que se forman al final del cuerpo y actúan en contra del sentido de avance, pueden disminuirse con movimientos y posturas apropiados. </div>
<div>
Mediante los movimientos optimizados para los distintos estilos de natación se generan de hecho también efectos de empuje hidrodinámicos que facilitan el desplazamiento en el agua.<br />
<br />
Más sobre el tema:<br />
- <a href="http://www.planetseed.com/es/mathsolution/flotacion-y-estabilidad-centro-de-gravedad">Flotación y estabilidad</a>, Recursos para escolares de Planetseed.com<br />
- Biomecánica de la natación. Klaus Reischle. Ed. Gymnos. Madris 1993</div>
<div>
<br /></div>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-12685735845152164622013-07-22T09:20:00.001+02:002013-08-12T17:04:40.748+02:00Ingenio matemático con aire acondicionado al 100%<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1e_9C9bwhSXM8RmliFRhwgKX4i570OX1bEWMsFJejZtOo9rigMwaTvJpZCoRZm1XdqGmkimDed6ILdDBPgLJVP6-SPGVH5uAlbO8pKpzd_wn9RJmrCqEvm_tJcygSCYgSjmHyhh_U42k/s1600/100%25AirConditioning.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="261" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1e_9C9bwhSXM8RmliFRhwgKX4i570OX1bEWMsFJejZtOo9rigMwaTvJpZCoRZm1XdqGmkimDed6ILdDBPgLJVP6-SPGVH5uAlbO8pKpzd_wn9RJmrCqEvm_tJcygSCYgSjmHyhh_U42k/s400/100%25AirConditioning.jpg" width="400" /></a></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
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<br />
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">La noche está al caer y tres jóvenes viajeros deciden parar en el primer Motel que ven y que aún tiene habitaciones libres. ¡Tiene además aire acondicionado en todas las habitaciones!</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">El precio para una habitación de tres camas es de 90 € por noche.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Como sólo van a quedarse una noche, cada uno paga sus 30 € por adelantado y se retiran luego directamente a la habitación porque están cansados y piensan partir al día siguiente a primera hora de la mañana.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Al cabo de un rato, el propietario del motel se da cuenta que el precio de la habitación para ese día de la semana es de sólo 85 €. Coge 5 € de la caja y pide a su ayudante que los devuelva a los tres huéspedes. El ayudante se da no obstante cuenta de que no se pueden repartir equitativamente cinco euros entre tres personas y decide por tanto que lo mejor es darles sólo tres euros.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Los tres jóvenes han pagado así pues finalmente 30-1= 29 € cada uno, o sea, 87 € en total. El ayudante del motel se quedó con 2 €, esto hace 87+2= 89 €.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">¡Pero al principio se pagaron 90 € y no 89 €!</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">¿Dónde está el euro que falta?</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: x-small;"><u>Nota</u>: esta anécdota con pregunta sorpresa es un ejemplo de pregunta curiosa que plantean a veces los seleccionadores en una entrevista de trabajo para poner a prueba el ingenio y rapidez mental de los postulantes.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif; font-size: x-small;"><a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToQ0QyYW8xTlMyWU0/edit?usp=sharing">Solución</a></span>Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-38198904959386100902013-07-09T16:38:00.001+02:002013-08-12T17:05:31.396+02:00Hasta donde alcanza la vistaYa estamos en verano y con las vacaciones escolares se han multiplicado también las ocasiones de disfrutar del contacto con la naturaleza y de elucubrar sobre pequeños y grandes enigmas que nos rodean....<br />
<br />
Cuando paseaba esta madrugada por el parque agrícola de Collserola (Sant Cugat del Vallés, Barcelona) hice unas pocas fotos ........<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiemplKKOQWlmSKrT46w0v6v2UDNTT8VJ3YYvA0bhF4iYGifU-bMWKTQrQvTZXVAN_cPKBCgY951uCB3hWMWDXVTYz-o7TkB4XLTS3TufX5WEGNS60Sh57Wqc9nZvTkePlkOoDbDlubFnpR/s1600/QueLejosCampo.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiemplKKOQWlmSKrT46w0v6v2UDNTT8VJ3YYvA0bhF4iYGifU-bMWKTQrQvTZXVAN_cPKBCgY951uCB3hWMWDXVTYz-o7TkB4XLTS3TufX5WEGNS60Sh57Wqc9nZvTkePlkOoDbDlubFnpR/s1600/QueLejosCampo.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Campo de trigo junto a la entrada de Sant Cugat del Vallés al parque de Collserola</td></tr>
</tbody></table>
<br />
y me plantee la pregunta de cuán lejos podría estar el horizonte que distinguía a simple vista al estar en medio de un campo llano en el que no hay elementos que ocultan su visión (árboles, edificios, etc.) ni condiciones atmosféricas adversas (niebla, calima, luuvia, etc.) y de cómo variaría el alcance de la vista si mirase el horizonte desde un mirador o posición de observación más elevada.<br />
<br />
Unas vistas muy bonitas sobre el horizonte se tienen desde luego también cuando se está junto al mar o en un velero, siempre y cuando las condiciones atmosféricas sean lo suficientemente buenas.<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRLTBh-zyOMbOYMwRhhj33WrWChB9B54gXha_IDtjqf5JCEvLaRbdrGCLdXIsEulPjB_ZOxRrUuEvAFWti5Z0a2SuzDz1xOVnR6-32Fvb68hCt8rYlyt0glnyjS4LiLR9YmgVMalBLcQxh/s1600/QueL-WieWeitHorizont.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRLTBh-zyOMbOYMwRhhj33WrWChB9B54gXha_IDtjqf5JCEvLaRbdrGCLdXIsEulPjB_ZOxRrUuEvAFWti5Z0a2SuzDz1xOVnR6-32Fvb68hCt8rYlyt0glnyjS4LiLR9YmgVMalBLcQxh/s1600/QueL-WieWeitHorizont.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Cap Roig en la Costa Brava</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<br />
Una respuesta aproximada a estas preguntas puede deducirse partiendo del bien conocido teorema de Pitágoras.<br />
Aquí un dibujo colorista que he hecho para ilustrarlo mejor:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwbzFaRf-nb97FwU_FLydSdLvuoASerUA42WkbEbHhhXcvVR4Gw_2_93Y8tvfYWQOyoE5fuF8a7A5qApHwIgICdrCDdcNxDfIDGiML2wf7EE7E5YHSqkNacZQ5xIdU1cGVoW6Vbh28GBqr/s1600/QueLejosBarcoHorizonte.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwbzFaRf-nb97FwU_FLydSdLvuoASerUA42WkbEbHhhXcvVR4Gw_2_93Y8tvfYWQOyoE5fuF8a7A5qApHwIgICdrCDdcNxDfIDGiML2wf7EE7E5YHSqkNacZQ5xIdU1cGVoW6Vbh28GBqr/s1600/QueLejosBarcoHorizonte.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: left;">
</div>
</div>
<br />
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-size: medium; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: center; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<div style="text-align: left;">
<div style="font-weight: normal; margin: 0px;">
La tierra no es una esfera perfecta, pero para una estimación aproximada del alcance de nuestra vista hasta el horizonte podemos considerar aceptablemente que tiene un <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_de_la_Tierra">radio medio</a> de 6370 km.</div>
<div style="font-weight: normal; margin: 0px;">
<br /></div>
<div style="font-weight: normal; margin: 0px;">
En el triángulo rectángulo del dibujo (el ángulo entre <span style="color: red;"><b>x</b></span> y r es de 90º):</div>
<div style="font-weight: normal; margin: 0px;">
<b><span style="color: red;">x </span></b>es el alcance de la vista o distancia hasta el horizonte</div>
<div style="font-weight: normal; margin: 0px;">
<b>r </b>es el radio medio de la tierra</div>
<div style="margin: 0px;">
<b>r + s </b>es la distancia del observador al centro de la tierra y</div>
<div style="margin: 0px;">
<b>s</b><span style="font-weight: normal;"> la altura de observación (altura de los ojos con respecto al suelo terrestre</span></div>
<div style="font-weight: normal; margin: 0px;">
<br /></div>
<div style="font-weight: normal; margin: 0px; text-align: left;">
Según el<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras"> teorema de Pitágoras</a>: <span style="font-family: inherit;"> <span style="font-size: large;"> </span><b>x<sup>2</sup> + r<sup>2</sup> = (r + s)<sup>2</sup></b></span></div>
<div style="font-weight: normal; margin: 0px;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: normal; margin: 0px;">
que despejando da: <b>x<sup>2</sup> = 2rs + r<sup>2</sup> = 2rs + s<sup>2</sup> = (2r + s) s</b></div>
<div style="font-weight: normal; text-align: left;">
<br /></div>
Al ser el radio de la tierra mucho mayor que la altura de observación, podemos despreciar su contribución a la suma escrita entre paréntesis, por lo que: </div>
<div style="text-align: left;">
<b style="font-weight: normal;"> x<sup>2</sup> </b><span style="font-weight: normal; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><b>≈ 2rs = 12.740 * s</b></span></span></div>
<div style="font-weight: normal; text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></span></div>
<div style="font-weight: normal; text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><span style="font-family: inherit;">Por consiguiente, el alcance de la vista hasta el horizonte (o distancia geométrica hasta el horizonte) puede calcularse mediante la siguiente fórmula muy sencilla:</span></span></div>
<div style="font-weight: normal; text-align: left;">
<span style="text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: normal; margin: 0px;">
<o:p></o:p></div>
<div style="text-align: left;">
<div class="MsoNormal" style="font-weight: normal; margin: 0px;">
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: normal;">
<div style="margin: 0px;">
<o:p></o:p></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: normal;">
<div style="margin: 0px;">
<o:p></o:p></div>
</div>
<div style="margin: 0px; text-align: left;">
<b>x</b> [en km]<b style="font-weight: normal;"> </b><span style="font-weight: normal; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><b>≈ 113 * </b></span></span><span style="font-family: 'Times New Roman', serif; font-weight: normal;"><b>√¯s </b>[en km]</span><br />
<b>x</b> [en km] <span style="text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"><b>≈ 3,57 * </b></span></span><span style="font-family: 'Times New Roman', serif;"><b>√¯s </b>[en m]</span></div>
<div style="font-weight: normal; margin: 0px; text-align: left;">
<span style="font-family: 'Times New Roman', serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: normal; margin: 0px;">
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: normal; margin: 0px;">
<span style="font-family: 'Times New Roman', serif;">Para un observador de s = 1,70 m = 0,0017 km de altura, la distancia hasta el horizonte que alcanza ver cuando las condiciones atmosféricas son buenas es de aprox. 4,6 km. Si lo observase desde una plataforma de 30 m de altura (las plataformas de observación en los veleros tienen en promedio una altura s = 0,03 km), entonces el alcance de su vista hasta el horizonte sería ya, según la fórmula, de casi 20 km.</span><o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: normal; margin: 0px;">
<span style="font-family: 'Times New Roman', serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0px;">
<div style="font-weight: normal;">
<span style="font-family: 'Times New Roman', serif;">No se han considerado en esta primera aproximación efectos de refracción atmosférica que según las condiciones climatológicas pueden modificar en un factor más o menos grande el alcance de la visión. En el mundo de la náutica, suelen considerarse frecuentemente aplicando un factor de corrección promedio a la fórmula arriba indicada.</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: normal; margin: 0px;">
<span style="font-family: Times New Roman, serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Times New Roman, serif;">Cuando se está junto al mar o se viaja en barco puede observarse también que a veces sólo pueden verse las superestructuras de un barco lejano y no todo su cuerpo o sólo los picos de la montaña de una isla, porque el resto queda como por debajo del horizonte, como ilustra el siguiente dibujo:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; font-weight: normal; margin: 0px; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkEK2qdHUn1oeqq1MXsdR54zb9gSBSnBUseNGGdUXy_ClTAy_5HXP_uxFKlDOfXpQjxkiO2CxrMHkeQkgK1wisXP6fjw1-M87fA7kTjXf9o6Fs9DV6RjmUgtXUXqrQyKaO6Wq8mcyA_Zfv/s1600/QueLejosBarcoMontana.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkEK2qdHUn1oeqq1MXsdR54zb9gSBSnBUseNGGdUXy_ClTAy_5HXP_uxFKlDOfXpQjxkiO2CxrMHkeQkgK1wisXP6fjw1-M87fA7kTjXf9o6Fs9DV6RjmUgtXUXqrQyKaO6Wq8mcyA_Zfv/s1600/QueLejosBarcoMontana.jpg" style="cursor: move;" /></a></div>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: normal; margin: 0px; text-align: center;">
<span style="font-family: Times New Roman, serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: normal; margin: 0px;">
<span style="font-family: Times New Roman, serif;">¿Qué distancia máxima puede haber entonces desde un punto de observación de s metros de altura hasta la cima de una montaña de altura b que se alcanza observar sobre el horizonte de un paraje llano? ¿Hay también una fórmula sencilla que permita determinar aproximadamente esta distancia en ausencia de perturbaciones atmosféricas y efectos ópticos de refracción? </span></div>
<div style="font-weight: normal; margin: 0px;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; font-weight: normal; margin: 0px; text-align: center;">
</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="font-weight: normal; margin-bottom: 0.5em; margin-left: auto; margin-right: auto; padding: 6px; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiW_FW7kAE0ftrE4OCHTzsKL2fudhUBTqdxEWVaF9ngW_WnM1v5oHyShPnalAn8DTs9kBsXdxZS9afUx_TTVj-3zTpvShWFUX9lExOULsHC9X8cKUobrGzSOfadvHB32Sg0otNElKipHFXE/s1600/MallorcaDesdeCollserola.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiW_FW7kAE0ftrE4OCHTzsKL2fudhUBTqdxEWVaF9ngW_WnM1v5oHyShPnalAn8DTs9kBsXdxZS9afUx_TTVj-3zTpvShWFUX9lExOULsHC9X8cKUobrGzSOfadvHB32Sg0otNElKipHFXE/s1600/MallorcaDesdeCollserola.jpg" style="cursor: move;" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 13px; padding-top: 4px; text-align: center;">Visión del perfil montañoso de Mallorca desde el observatorio Fabra de Collserola, Barcelona (413 m)<br />
<a href="http://ropits.com/serra/mallorca.htm">Foto de Alfons Puertas Castro, tomada el 7 de dic. de.2010 hacia las 14 horas</a></td></tr>
</tbody></table>
<div style="font-weight: normal; margin: 0px; text-align: center;">
<br /></div>
</div>
</div>
<div style="text-align: center;">
</div>
<br />
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-size: medium; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: center; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<div style="margin: 0px;">
<br /></div>
</div>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-81485017913277013602013-06-23T15:04:00.001+02:002013-06-24T11:16:56.146+02:00Hogueras de San Juan y ciencia del fuego<span style="background-color: white; color: #444444; font-size: 14px; line-height: 23px;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Hoy es la noche de San Juan, noche de hogueras… ¡Hay que tener cuidado con el fuego!</span></span><br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqkJjIj_Bqro4DNWJ5YqeduaeNH0crH8TqOE3KlX9z4h36gsTXvCbLfZz0BStJqVNJiNZ7RRoceZyFkQN_Ne5T__J_CM_4Bh5Jw1n5NWU0ZDeGcej9ssSupwi3Dgpvhnz_kFqw4U-df9c/s1600/SanJuanBarna.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="242" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqkJjIj_Bqro4DNWJ5YqeduaeNH0crH8TqOE3KlX9z4h36gsTXvCbLfZz0BStJqVNJiNZ7RRoceZyFkQN_Ne5T__J_CM_4Bh5Jw1n5NWU0ZDeGcej9ssSupwi3Dgpvhnz_kFqw4U-df9c/s400/SanJuanBarna.png" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Noche de San Juan en Barcelona</td></tr>
</tbody></table>
<span style="background-color: white; color: #444444; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 23px;">Mirad como resuelven los problemas con el fuego cuatro personas distintas… </span><br />
<div style="background-color: white; color: #444444; font-size: 14px; line-height: 23px;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Un sacerdote, una física, un ingeniero mecánico y un matemático están en el último piso de un edificio en llamas.</span></div>
<div style="background-color: white; color: #444444; font-size: 14px; line-height: 23px;">
</div>
<div style="background-color: white; color: #444444; font-size: 14px; line-height: 23px;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">La única manera de librarse de morir achicharrados es saltar por la ventana sobre una piscina situada en la azotea del edificio de enfrente, un poco más bajo… pero el salto parece difícil.</span></div>
<div style="background-color: white; color: #444444; font-size: 14px; line-height: 23px;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="background-color: white; color: #444444; font-size: 14px; line-height: 23px;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">El sacerdote se sitúa frente a la ventana, reza y salta. Aterriza en la piscina, a apenas unos centímetros del borde…</span></div>
<div style="background-color: white; color: #444444; font-size: 14px; line-height: 23px;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="background-color: white; color: #444444; font-size: 14px; line-height: 23px;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">La física estima (porque en ese momento no dispone de los medios para medir) la velocidad del viento, la distancia, la diferencia de alturas entre los edificios y, anotando todo sobre la pared, hace cálculos de trayectoria de salto a fin de determinar la velocidad y ángulo de salto iniciales necesarios para aterrizar en medio de la piscina. Toma impulso, salta y cae dentro de la piscina, apenas a unos centímetros del borde…</span></div>
<div style="background-color: white; color: #444444; font-size: 14px; line-height: 23px;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="background-color: white; color: #444444; font-size: 14px; line-height: 23px;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">El ingeniero coge una tabla del suelo, estima su elasticidad, fija la tabla sobre el marco de la ventana y utiliza datos que escribió la física para hacer sus propios cálculos – acaban siendo algo más largos que los de la física y llenan toda una pared –. Finalmente se sitúa sobre la plancha, salta y aterriza en la piscina, apenas a unos centímetros del borde...</span></div>
<div style="background-color: white; color: #444444; font-size: 14px; line-height: 23px;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="background-color: white; color: #444444; font-size: 14px; line-height: 23px;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">El matemático tiene ahora a su disposición los datos de la física y del ingeniero. Comienza a realizar sus propios cálculos… cubre una pared,… dos paredes, … tres paredes, ... finalmente, se coloca sobre la plancha que fijó el ingeniero sobre la ventana y salta … pero ... ¡no se le ve caer! ¿Qué ha sucedido?<br />.<br />..<br />…<br />….<br />…..<br />…...<br />….</span></div>
<div style="background-color: white; color: #444444; font-size: 14px; line-height: 23px;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">......<br />...<br />..</span></div>
<div style="background-color: white; color: #444444; font-size: 14px; line-height: 23px;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />¡Un error en el signo!</span></div>
<div style="background-color: white; color: #444444; font-size: 14px; line-height: 23px;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="background-color: white; color: #444444; font-size: 14px; line-height: 23px;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Visto en el blog de <a href="http://ztfnews.wordpress.com/2013/06/23/la-ciencia-del-fuego-en-la-noche-de-san-juan/">ZTFNews.org</a> </span></div>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-83286705134087025702013-06-10T00:38:00.000+02:002013-06-10T11:27:42.095+02:00Buenas notas y agua<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Ya se está acabando el curso. </span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Algunos de vosotros ya habéis hecho gran parte de los últimos exámes y habéis sacado incluso muy buenas notas - ¡Mis felicitaciones! </span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Otros aún tenéis un examen de mates y/o física la próxima semana - ¡Ánimos! </span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Además, según un estudio reciente de un grupo de invertigadores de la University of East London, hay un método muy sencillo y sano para mejorar los resultados de un exámen: <b>hacerlo acompañado de una botella de agua</b>. </span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">¿¡Mejores notas sin tener que estudiar adicionalmente!?</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyBuu9Ljm9HH3VrVLcH5ri4dIEBziugs8vZkbQZBUkyyDdJ2QBg3oDuUEjipiakBtwD1nfxBnwACMsCvNS3vk91HqyvP_RC0UFjTPpkgApzTfOJJZ9z2Hm8Wylpf7eL-4p3fc0P4nZeCJm/s1600/DuranteExam.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="239" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyBuu9Ljm9HH3VrVLcH5ri4dIEBziugs8vZkbQZBUkyyDdJ2QBg3oDuUEjipiakBtwD1nfxBnwACMsCvNS3vk91HqyvP_RC0UFjTPpkgApzTfOJJZ9z2Hm8Wylpf7eL-4p3fc0P4nZeCJm/s320/DuranteExam.jpg" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Pues sí, esto es lo que se ha encontrado. En particular, los autores del estudio (Chris Pawson y colaboradores) hicieron una encuesta a 447 estudiantes de la University of East London con el fin de estudiar su comportamiento en la realización de distintos exámenes y su rendimiento en función de si llevaban o no algo para beber. Lo llamativo de este estudio y que ha dado mucho que hablar es el siguiente resultado:</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Los que van al examen con una botella de agua consiguen mejores resultados y ésto incluso si no beben nada de agua.</span></b><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Según la opinión del investigador principal, las causas son psicológicas y fisiológicas: el consumo de agua puede tener un efecto positivo sobre las funciones cognitivas y reducir la ansiedad contraproductiva, pero incluso la simple presencia de la botella junto al examinando puede tener este efecto tranquilizador</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">No obstante, los investigadores no llegaron a analizar detalladamente si los estudiantes que obtuvieron buenas notas bebieron mucha agua, solo unos tragos o nada.... </span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Supongo que tampoco tuvieron en cuenta la siguiente posibilidad:</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijIZbCE8T3vZlyWYDs81aERlofZxcBcjsbnaFJyMOzS95ra2DOb8bzW84eEv5BHZPTUoyYPSSgf5Xqm4MmqM39iyDVQBXn7nViH38BQ8_OrQJQI6jJy6Nk6S4Zh4sj955b3yCtd0laCoxT/s1600/DuranteExamen.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="212" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijIZbCE8T3vZlyWYDs81aERlofZxcBcjsbnaFJyMOzS95ra2DOb8bzW84eEv5BHZPTUoyYPSSgf5Xqm4MmqM39iyDVQBXn7nViH38BQ8_OrQJQI6jJy6Nk6S4Zh4sj955b3yCtd0laCoxT/s320/DuranteExamen.jpg" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Según el investigador principal, Chris Pawson, se ampliará este estudio para establecer claramente la causalidad (más información sobre este esutio en la <a href="http://www.uel.ac.uk/news/press-releases/2012/04/waterexams.htm">página de noticias de la University of East London</a>). </span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Mientras tanto no cuesta nada probar uno mismo la eficacia de este método, ¡pero mejor sin chuleta!</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Hacer una chuleta toma su tiempo y, además, el profesor o profesora puede detectarla fácilmente.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><u>Nota</u>: No es siempre una mala idea hacerse una chuleta (pero ¡ojo con usarla!), porque para escribirla hay que saber resumir bien el tema del examen y se aprende al escribirla. De hecho, es la razón por la que muchas veces ya ni se necesita recurrir a ella durante el examen.<span style="font-size: 15px; line-height: 19px;"> </span></span><br />
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="font-size: 15px; line-height: 19px;"><br /></span></span></div>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-87676047422826800252013-06-03T10:14:00.002+02:002013-06-03T20:28:54.947+02:00Antes del examen<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTqJ6uL_nspjz2uy2lWJjpdfZWpfcUxVb6qT_9iiYRf8Toq7O75IuvxDD9OtMiQWATxOr7xwhV472vqGM0zT6-J9RGDNm3TkQ7mvwRSZjZztK4Iy1Fc-AjB9n3iB1UKv8hi-TuSngM-L35/s1600/Llegando+al+final(whatssoulslawbroscallme).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="176" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTqJ6uL_nspjz2uy2lWJjpdfZWpfcUxVb6qT_9iiYRf8Toq7O75IuvxDD9OtMiQWATxOr7xwhV472vqGM0zT6-J9RGDNm3TkQ7mvwRSZjZztK4Iy1Fc-AjB9n3iB1UKv8hi-TuSngM-L35/s320/Llegando+al+final(whatssoulslawbroscallme).gif" width="320" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="color: #45818e; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>¡ÁNIMO, LO CONSEGUIRÁS!</b></span><br />
<br /></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Y aquí unos consejos útiles para las 24 horas previas al exámen:</span></div>
<div>
</div>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Si ya has estudiado como debe ser, lo mejor que puedes hacer el día anterior al exámen es relajarte dedicándote, por ejemplo, a tu hobby preferido. Repasa solo brevemente lo estudiado si esto te hace sentir mejor, pero ten en cuenta que el cerebro no relaciona bien a última hora nuevos contenidos con los conocimientos ya existentes y que la aparición de nuevas dudas pueden acrecentar el nerviosismo y estrés.</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Duerme suficientemente (por lo menos 7 horas) la noche antes del exámen.</span></li>
</ul>
<div>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Levántate suficientemente pronto el día del exámen. Ten en cuenta que el cerebro necesita como mínimo dos horas para estar a pleno rendimiento. Un paseo matutino o un poco de gimnasia favorecen la buena oxigenación y un buen desayuno rico en hidratos de carbono y pobre en cafeína proporciona la energía necesaria para la buena realización del exámen.</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Cuando estés con tus compañeros durante el periodo previo al exámen, no alteres inultilmente tus áninos con preguntas o especulaciones sobre los temas del exámen. No te dejes influenciar por un aluvión de dudas ajenas ni por nerviosismos colectivos. O sea, intenta estar el mínimo tiempo posible con compañeros dedicados a estas actividades tan estresantes y desalentadoras.</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Si a pesar de todo empiezas a notar demasiado nerviosismo o el inicio de algo de pánico en tí, intenta respirar profunda y pausadamente y centra tus pensamientos en alguna experiencia grata o en algo bonito que vas hacer tras el exámen. </span></li>
</ul>
</div>
<ul>
</ul>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-60788783993814347522013-05-16T19:44:00.000+02:002013-05-17T00:49:31.509+02:00Saber y suerte para aprobar<br />
La vida está llena de imprevistos y golpes de suerte por lo que va muy bien saber algo de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad">probabilidades</a> a fin de prever riesgos y estimar posibilidades de éxito.<br />
Pero los cálculos de probabilidad ¿pueden ser también útiles para saber cómo prepararse o proceder ante un examen?<br />
Aquí dos ejemplos para analizarlo y de paso chequear los propios conocimientos e intuición probabilísticos:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieu0DBRgFWlIk9RKYPwlEIbs8_e0SfP9mc2bCD-kEYccnzQh_7jsTyzheafzEHlGSYKNUe6bAiQ-Rn2omNBTI6bYzwzCE1cuC_zIzbML8J_Q8iMudAeGxqfAF0DjMvuQ6Hrz_VDKLnHUY/s1600/Ruleta4Neumaticos.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieu0DBRgFWlIk9RKYPwlEIbs8_e0SfP9mc2bCD-kEYccnzQh_7jsTyzheafzEHlGSYKNUe6bAiQ-Rn2omNBTI6bYzwzCE1cuC_zIzbML8J_Q8iMudAeGxqfAF0DjMvuQ6Hrz_VDKLnHUY/s1600/Ruleta4Neumaticos.jpg" /></a></div>
<b><br /></b>
<b>Ejemplo 1</b>:<br />
A los tres mejores estudiantes de segundo de física les queda ya sólo un examen de física cuántica para acabar el curso. Se sienten muy bien preparados y no ven inconveniente en rechazar la invitación a una fiesta que se celebra la noche anterior al día del examen.<br />
A la mañana siguiente, como se veía a venir, los tres no se despiertan a tiempo y llegan tarde para el examen. Se encuentran delante del edificio de la facultad y piensan cómo podrían salir ahora de esta situación embarazosa. Saben que el profesor los tiene en muy alta consideración por sus trabajos anteriores y quieren intentar convencerlo para que les dé una segunda oportunidad para hacer el examen.<br />
Tras discutirlo un rato, deciden recurrir a la excusa típica de que han tenido un reventón y de que por eso no han podido llegar a tiempo. Van a ver el profesor para plantearle la excusa y resulta que el profesor accede a darles una segunda oportunidad si hacen el examen ahora mismo. Los 3 estudiantes lo aceptan agradecidos y contentos de tener un profesor tan condescendiente.<br />
Al cabo de unos 15 minutos, el profesor los lleva a tres habitaciones separadas y les entrega la hoja de examen que sólo contiene dos preguntas. Una pregunta que vale 30 puntos y la siguiente pregunta de 70 puntos: ¿Qué neumático sufrió el reventón?<br />
<br />
¡Vaya! El asunto no acabó tan bien, ¿o sí?<br />
¡Es que para aprobar se necesitan por lo menos 50 puntos!<br />
<br />
¿Cuál es la probabilidad de que los tres estudiantes contesten lo mismo?<br />
<br />
* <a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToNXNaWnpnQmYzWE0/edit?usp=sharing">1 / 64</a><br />
* <a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToYUpYRkI1MzBsczg/edit?usp=sharing">1 / 16</a><br />
*<a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToNXNaWnpnQmYzWE0/edit?usp=sharing"> 1 / 4</a><br />
* <a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToNXNaWnpnQmYzWE0/edit?usp=sharing">1 / 3</a><br />
<br />
<span style="font-size: x-small;">(cliquear <a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0TocVlEcjljSjhYTHM/edit?usp=sharing">AQUÍ</a> para ver detalles y comentarios sobre el cálculo de la probabilidad en este caso)</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjj7NRfPnx44CynYoxoVmBL7YNdizj_Y10GTbgGd-fe2f_12Fv5mQb236myvBbJ6siMdvk9JkQakVuqoTmbWJbQHgKOz5QnjRZXGOdzXGa3ZQbAvZqyAYkEcjW90d3AkSluwxRWa2e8C9o/s1600/Wuerfelbecher.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjj7NRfPnx44CynYoxoVmBL7YNdizj_Y10GTbgGd-fe2f_12Fv5mQb236myvBbJ6siMdvk9JkQakVuqoTmbWJbQHgKOz5QnjRZXGOdzXGa3ZQbAvZqyAYkEcjW90d3AkSluwxRWa2e8C9o/s1600/Wuerfelbecher.jpg" /></a></div>
<b><br />
</b> <b><br />
</b> <b><br />
</b> <b><br />
</b> <b><br />
</b> <b><br />
</b> <b>Ejemplo 2</b>:<br />
A Pablo ya no le queda el tiempo suficiente para prepararse bien los 6 temas que entrarán en el próximo examen de matemáticas. Está pensando ahora si no le convendrá más centrarse únicamente en tres de los seis temas y estudiarselos muy bien, teniendo en cuenta que el examen constará solamente de dos ejercicios que versarán cada uno sobre un tema distinto escogido al azar de entre los 6 temas de examen.<br />
¿Qué probabilidad tendría entonces Pablo de que en el examen salga por lo menos uno de los temas que ha estudiado para poder así aprobar?<br />
<br />
* <a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToNXNaWnpnQmYzWE0/edit?usp=sharing">50%</a><br />
* <a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToNXNaWnpnQmYzWE0/edit?usp=sharing">25%</a><br />
* <a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0TodDF1ZF9JMGFtaFE/edit?usp=sharing">80%</a><br />
* <a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToNXNaWnpnQmYzWE0/edit?usp=sharing">75%</a><br />
<br />
<span style="font-size: x-small;">(cliquear </span><span style="font-size: x-small;"><a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToSGVBdWZ6WFFHWlU/edit?usp=sharing">AQUÍ</a></span><span style="font-size: x-small;"> para ver detalles y comentarios sobre el cálculo de la probabilidad en este caso)</span><br />
<br />
Para refrecar o ampliar conocimientos básicos sobre el cálculo de probabilidades, pueden resultar interesantes y/o útiles:<br />
<br />
<table border="1" cellpadding="2" cellspacing="2" style="width: 570px;"><tbody>
<tr>
<td colspan="2" rowspan="1" valign="top" width="400"><b>Libro</b>: El andar der borracho o cómo el azar gobierna nuestras vidas<br />
del autor Leonard Mlodinov<br />
Se trata de un libro entretenido e instructivo que, sin utilizar fórmulas matemáticas, proporciona una visión general sobre el mundo de las probabilidades y su historia, incluyendo anécdotas y malinterpretaciones comunes.<br />
(Nivel: a partir de bachillerato)</td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="400"><b>Curso en línea de introducción a la probabilidad</b><br />
patrocinado por el Instituto Nacional de Tecnologías Educativas<br />
(Nivel: ESO)</td>
<td valign="top"><div style="text-align: center;">
<a href="http://descargas.pntic.mec.es/cedec/mat3/contenidos/u12/M3_U12_contenidos/index.html">Ver videotutorial</a></div>
<br />
<br /></td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="400"><b>Pequeño curso de probabilidad básica</b> con ejercicios interactivos<br />
Autor: J. Joaquín Seda<br />
(Nivel: bachillerato)</td>
<td valign="top"><div style="text-align: center;">
<a href="http://thales.cica.es./rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html">Ver curso en línea</a></div>
<br />
<br /></td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="400"><b>Probabilidad y juego explicado mediante animaciones flash</b><br />
Curso patrocinado por el Ministerio de Educación y Cultura de<br />
España<br />
Autora: Isabel Martín Rojo<br />
(Nivel: 4º ESO - Bachillerato)</td>
<td valign="top"><div style="text-align: center;">
<a href="http://ntic.educacion.es/w3//recursos/bachillerato/matematicas/probabilidad/index.html">Ver página educativa</a></div>
<br />
<br /></td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="400"><b>Elementos de probabilidad y estadística</b><br />
Resumen de contenidos para bachillerato de CCSS</td>
<td valign="top"><div style="text-align: center;">
<a href="http://carmesimatematic.webcindario.com/introduccionestadistica.htm">Ver página educativa</a> </div>
<br /></td>
</tr>
<tr>
<td valign="top"><b>Clases presenciales con CSI</b><br />
(en Sant Cugat del Vallés)</td>
<td valign="top"><div style="text-align: center;">
<a href="http://mate-fisicsi.blogspot.com.es/p/servicios-leistungen.html">Consultas</a></div>
<br /></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<br />Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-7447291951782790672013-05-08T22:16:00.002+02:002013-05-16T15:03:21.734+02:00Letras del alfabeto griego en matemáticas y física<br />
<span style="font-family: inherit;">En matemáticas y física se utilizan frecuentemente letras griegas para denotar parámetros y constantes.</span><br />
<span style="font-family: inherit;">La siguiente tabla proporciona una pequeña ayuda para familiarizarse con las más utilizadas:</span><br />
<div align="center">
<br />
<div align="center">
<br /></div>
<table align="center" border="1" cellpadding="2" cellspacing="2" style="width: 570px;"><tbody>
<tr><td align="center" colspan="2" rowspan="1" valign="top" width="70"><b>Letras griegas</b></td><td align="center" colspan="1" rowspan="2" valign="top" width="190"><b><br />
Pronunciación</b></td><td align="center" colspan="1" rowspan="2" valign="top" width="200"><b><span style="font-family: inherit;"><br />
</span>Onomatopeyas</b></td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><b>mayúsculas</b></td><td align="center" valign="top" width="90"><b>minúsculas</b></td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 18pt; line-height: 27px;"><span style="font-family: Times, Times New Roman, serif;">Α</span><o:p></o:p></span></div>
</td><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">α</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
Alpha</td><td align="center" valign="top" width="200"><br /></td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">Β</span><br />
<o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">β</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
Beta</td><td align="center" valign="top" width="200"><div class="separator" style="clear: both;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimXUn8OL22KtZmkku3U4GRKc0tfwxJnC8Yo9h9cbiV_JlgYXNaHvodHqwp9_ij4YpVvp7jXpZmkeV9KFY60WSGIQ2Yk9Nl6tfJX24j57uHJSoLn3iTT-mxYLKeZGj6nQupZcfpLdbXIPDi/s1600/B-Schafe.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimXUn8OL22KtZmkku3U4GRKc0tfwxJnC8Yo9h9cbiV_JlgYXNaHvodHqwp9_ij4YpVvp7jXpZmkeV9KFY60WSGIQ2Yk9Nl6tfJX24j57uHJSoLn3iTT-mxYLKeZGj6nQupZcfpLdbXIPDi/s1600/B-Schafe.jpg" /></a></div>
</td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">Γ</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">γ</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
Gamma</td><td align="center" valign="top" width="200"><br /></td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">Δ</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">δ</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
Delta</td><td align="center" valign="top" width="200"><br /></td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">Ε</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">ε</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
Epsilon</td><td align="center" valign="top" width="200"><br /></td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">Η</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">η</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
Eta</td><td align="center" valign="top" width="200"><br /></td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">Θ</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">ϑ</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
Theta</td><td align="center" valign="top" width="200"><br /></td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">Κ</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">κ</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
Kappa</td><td align="center" valign="top" width="200"><div class="separator" style="clear: both;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjeGLN2j9zvaMiXXGr6bxqBZlMDtm0xADOwAJHgudnLMGmeHyaVaUxNlT-ekbQ_4u5-DkHbPNwVMOd7IeHG5ohSvbdslUi_vVzMXtrA9baA4d1s3wp5bM4dEZE8DxaGOqkLUNwFrSdBDwiu/s1600/B-StorchKappa.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjeGLN2j9zvaMiXXGr6bxqBZlMDtm0xADOwAJHgudnLMGmeHyaVaUxNlT-ekbQ_4u5-DkHbPNwVMOd7IeHG5ohSvbdslUi_vVzMXtrA9baA4d1s3wp5bM4dEZE8DxaGOqkLUNwFrSdBDwiu/s1600/B-StorchKappa.jpg" /></a></div>
</td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">Λ</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">λ</span><o:p></o:p></div>
</div>
</td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
Lambda</td><td align="center" valign="top" width="200"><br /></td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">Μ</span><br />
<o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="90"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 18pt; line-height: 27px;"><br />
</span><span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">μ</span><br />
<o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
<br />
Mu</td><td align="center" valign="top" width="200"><div class="separator" style="clear: both;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRwIzV1ldqno-MVlVfcakJ_UD_j-K4Tpfsj9ysHS7WWIG0axD_0_iq8YTnv-q7oWMBS8uur0q5NDpB39F2eJSX_u8BZAgh0RTsB8PrA-CkXeGgxtwBhO3vVSQhYzO7vuJ6IIi4n6fToO0/s1600/B-VacaMu.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRwIzV1ldqno-MVlVfcakJ_UD_j-K4Tpfsj9ysHS7WWIG0axD_0_iq8YTnv-q7oWMBS8uur0q5NDpB39F2eJSX_u8BZAgh0RTsB8PrA-CkXeGgxtwBhO3vVSQhYzO7vuJ6IIi4n6fToO0/s1600/B-VacaMu.jpg" /></a></div>
</td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">Ν</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">ν</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
Nu</td><td align="center" valign="top" width="200"><br /></td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">Π</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">π</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
<br />
Pi</td><td align="center" valign="top" width="200"><div class="separator" style="clear: both;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPBbgWh3TA6DIRwJ8ZO_dLhyT19Pf72EtWBE7ahydrcY4PMPtfWxPensA3DI9CV-vRkI8Bwy7IttE3yKnn1E78fZ5ROtFVD21ZaXe4UMx2iEoNpfy9ui0uEPJzkYMuXTf2AHvu57-THIym/s1600/B-VogelPi.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPBbgWh3TA6DIRwJ8ZO_dLhyT19Pf72EtWBE7ahydrcY4PMPtfWxPensA3DI9CV-vRkI8Bwy7IttE3yKnn1E78fZ5ROtFVD21ZaXe4UMx2iEoNpfy9ui0uEPJzkYMuXTf2AHvu57-THIym/s1600/B-VogelPi.jpg" /></a></div>
</td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-size: 18pt; line-height: 27px;"><br />
</span><span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">Ρ</span><br />
<div class="MsoNormal">
<o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-size: large;"><br />
</span><span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: x-large;">ρ</span></td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
<br />
Rho</td><td align="center" valign="top" width="200"><div class="separator" style="clear: both;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgr9yn5wV3Zs0nccE5PmFxRspJBxV8GB1mEsZcjJm31YokQIXgl0B-gQmI_IeyFUCJh2Noqg5h-nMuKlfbRxmcFJTVevIVM26gfGtMwN_XZEsM80pASZwb8wfEs8sNgl2Z63JQX49VcR1B_/s1600/B-GatoRho.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgr9yn5wV3Zs0nccE5PmFxRspJBxV8GB1mEsZcjJm31YokQIXgl0B-gQmI_IeyFUCJh2Noqg5h-nMuKlfbRxmcFJTVevIVM26gfGtMwN_XZEsM80pASZwb8wfEs8sNgl2Z63JQX49VcR1B_/s1600/B-GatoRho.jpg" /></a></div>
</td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">Σ</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">σ</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
Sigma</td><td align="center" valign="top" width="200"></td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-size: large;"><br />
</span><span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: large;">Τ</span></td><td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-size: 18pt; line-height: 27px;"><br />
</span><span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">τ</span></td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
Tau</td><td align="center" valign="top" width="200"><br /></td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: medium; line-height: 115%; mso-ansi-language: ES; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin;">Υ</span></td><td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">υ</span><br />
<div class="MsoNormal">
<o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
Ipsilon</td><td align="center" valign="top" width="200"><br /></td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">Φ</span><br />
<div class="MsoNormal">
<o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: medium; line-height: 115%; mso-ansi-language: ES; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin;">φ</span></td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
Phi</td><td align="center" valign="top" width="200"><br /></td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">Χ</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">χ</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
Ji</td><td align="center" valign="top" width="200"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOKG9pdn0rTjnVu2THLhax6h7TCJOS-NxFq514z2aZJ5m5TjI9xw8RjIpb4tIiUnxCsg97FUlGCbJyXA-hrvf6jfvi5IcJWu6gtXBacXtVVnvNksbuh70CwDgSQl3lJuTa8aM1mwPLk_4/s1600/B-RatonJi.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOKG9pdn0rTjnVu2THLhax6h7TCJOS-NxFq514z2aZJ5m5TjI9xw8RjIpb4tIiUnxCsg97FUlGCbJyXA-hrvf6jfvi5IcJWu6gtXBacXtVVnvNksbuh70CwDgSQl3lJuTa8aM1mwPLk_4/s1600/B-RatonJi.jpg" /></a></div>
</td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-size: 18pt; line-height: 27px;"><br />
</span><span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">Ψ</span><br />
<div class="MsoNormal">
<o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="90"><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: xx-small; line-height: 115%; mso-ansi-language: ES; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin;"><br />
</span><span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: medium; line-height: 115%; mso-ansi-language: ES; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin;">ψ</span></td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
<br />
Psi</td><td align="center" valign="top" width="200"><div class="separator" style="clear: both;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZ5HzeuE7jKLzQA3lgBPNPObY_ceYsPlq_ftduHv9ySRaUFi5xBWS9vO4syjcIqLkFc-C3e8WRiDGRtsmEFY7Xa8BXCwt9sG2K6qg0LdMbEChyigpbEe_eRD2a4Rq-0Mp96se7ZH57_xT0/s1600/B-SerpientePsi.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZ5HzeuE7jKLzQA3lgBPNPObY_ceYsPlq_ftduHv9ySRaUFi5xBWS9vO4syjcIqLkFc-C3e8WRiDGRtsmEFY7Xa8BXCwt9sG2K6qg0LdMbEChyigpbEe_eRD2a4Rq-0Mp96se7ZH57_xT0/s1600/B-SerpientePsi.jpg" /></a></div>
<br /></td></tr>
<tr><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">Ω</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="90"><br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif; font-size: 18pt; line-height: 27px;">ω</span><o:p></o:p></div>
</td><td align="center" valign="top" width="190"><br />
Omega</td><td align="center" valign="top" width="200"><br /></td></tr>
</tbody></table>
<div align="center">
<br /></div>
</div>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-4669118367054904582013-05-06T11:38:00.001+02:002013-05-06T11:41:34.642+02:00¿Cómo puedo mejorar mis notas de mates?<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJqKB1lY1wmUe7NFBcUdbce40wKebV0V3ccXBRIZS-m0OKZMOxa59Tp9VPvpKu8bVByfrORrS1ZzR_qIfjJccer89tw5Zenf8QSl4F6I2f9nhYQFAqkFbRcQBHbw_sq26xD3vTorvB0kk/s1600/MateconsejoBasePrimavera.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJqKB1lY1wmUe7NFBcUdbce40wKebV0V3ccXBRIZS-m0OKZMOxa59Tp9VPvpKu8bVByfrORrS1ZzR_qIfjJccer89tw5Zenf8QSl4F6I2f9nhYQFAqkFbRcQBHbw_sq26xD3vTorvB0kk/s320/MateconsejoBasePrimavera.jpg" width="279" /></a></div>
<br />
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Intenta hacer regularmente tus deberes y, si puede ser, el mismo día en el que te los han propuesto, porque entonces recordarás bien lo tratado en clase.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Va muy bien seguir el siguiente procedimiento:</span><br />
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Coje tu carpeta de matemáticas y revisa tus últimos <a href="http://mate-fisicsi.blogspot.com/2013/04/como-mejorar-las-notas-i.html">apuntes</a></span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">: </span></li>
<ul style="font-family: Verdana, sans-serif;">
<li>Fíjate en los nuevos conceptos y memoriza las nuevas fórmulas y proposiciones matemáticas.</li>
<li>Repasa los ejercicios de ejemplo tratados en clase. </li>
<li>Compara, si fuera necesario, con el capítulo correspondiente del libro para subsanar cualquier posible error o imprecisión en tus apuntes. </li>
<li>Si hubiese algo que no entiendes, apúntalo en la <a href="http://mate-fisicsi.blogspot.com/2013/04/como-mejorar-las-notas-i.html">franja lateral de tus apuntes</a> y plantea la cuestión en la próxima hora de clase.</li>
</ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Pasa a resolver los ejercicios propuestos</span></li>
</ul>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">........... y si no consigues resolverlos, entonces:</span></div>
<div>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Vuelve a resolver en una hoja aparte los ejercicios de ejemplo similares al que no consigues resolver y consulta otra vez tus apuntes o el capítulo correspondiente del libro.</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Intenta resolver el ejercicio hasta donde puedas y si no llegas a resolverlo del todo, apúntate en la carpeta de mates las cuestiones a aclarar o dificultades que tienes para que tu profesor@ pueda aclararte las dudas en la clase siguiente.</span></li>
</ul>
</div>
Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-71042739248559389042013-04-20T21:00:00.000+02:002013-04-21T10:47:55.128+02:00Ambigüedad en imágenes y entrenamiento de las habilidades de visión espacialNo todo el mundo tiene la misma habilidad en representar sobre papel u otro soporte bidimensional un cuerpo de tres dimensiones o, al revés, la habilidad en reconocer la forma y posición de un objeto tridimensional en el espacio a partir de un dibujo bidimensional hecho a escala y según las reglas de la perspectiva.<br />
Se necesitan para ello unas habilidades artísticas y visoespaciales más o menos bien desarrolladas, que afortunadamente pueden incrementarse mediante la práctica y el entrenamiento. En este entrada del blog nos centraremos en la segunda, es decir, intentaremos ejercitar un poco nuestras habilidades de visión espacial aplicando a la vez unos conceptos básicos de geometría analítica (sistema de coordenadas y las coordenadas de puntos para indicar con precisión la situación de dichos puntos en el espacio).<br />
<br />
Siempre que se realiza una representación bidimensional de un objeto tridimensional, se pierde algo de información, aunque se dibuje perfectamente y figure correctamente el efecto volumétrico del objeto sobre la superficie bidimensional. Esta pérdida en información puede implicar diversas interpretaciones de una misma imagen o ilusiones ópticas. Por ejemplo, ya sólo el dibujo de un simple cubo transparente admite dos interpretaciones:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj28EX6OPDphP_g6eOV23TiKLRmMx7syE-S_-1ZvxXDgG2njDs9jTn_As4CqlZwQNT-IZNiv0pomhRXx2wHdXShxA_ngvoucYxV1teQlMS7gJ3OQ73LkWD1wU6suF2ggyuTdDYBOhJ1fIjJ/s1600/CuboBlauWechselndePerspektive.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="280" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj28EX6OPDphP_g6eOV23TiKLRmMx7syE-S_-1ZvxXDgG2njDs9jTn_As4CqlZwQNT-IZNiv0pomhRXx2wHdXShxA_ngvoucYxV1teQlMS7gJ3OQ73LkWD1wU6suF2ggyuTdDYBOhJ1fIjJ/s320/CuboBlauWechselndePerspektive.jpg" width="320" /></a></div>
Por un lado, podemos interpretar el dibujo como la visión del cubo desde arriba y algo a la derecha del mismo (la cara de color es en este caso la cara posterior del cubo) y, por otro lado, podemos interpretar el dibujo como la visión del cubo desde abajo y algo a la izquierda del cubo (el lado verde del cubo es ahora la cara frontal del mismo).<br />
¡No resulta siempre fácil pasar de una perspectiva a la otra!<br />
Para facilitar algo la visión de estas dos posibilidades, presento a continuación la imagen de un cubo muy parecido pero que es semitransparente:<br />
<br />
<div style="text-align: right;">
</div>
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6X2pn7MFOXWG7pSEmSVnGbXybcFcWh8Y0IsZKwOXB1GGA1Ro9I2jREbylq1mxaA7bnU67HYiA6ep6uC6oEZnYxsCwzrALEvTsW45SI-MPtpwCt_gMECENf9nlJYY5EviQ7ql5Lu8Vj3p0/s1600/CuboBlauHinten-Vorn.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6X2pn7MFOXWG7pSEmSVnGbXybcFcWh8Y0IsZKwOXB1GGA1Ro9I2jREbylq1mxaA7bnU67HYiA6ep6uC6oEZnYxsCwzrALEvTsW45SI-MPtpwCt_gMECENf9nlJYY5EviQ7ql5Lu8Vj3p0/s1600/CuboBlauHinten-Vorn.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 13px;">Cara frontal blanca - cara posterior verde Cara frontal verde - cara posterior blanca<br />
Las líneas punteadas representan las aristas semiocultas por el material semitransparente.</td></tr>
</tbody></table>
<br />
Y las dos perspectivas se pueden ver aún mucho mejor si se utilizan elementos básicos de la geometría analítica, es decir, si se sitúa el cubo (unitario) en un sistema de coordenadas cartesiano (ortogonal) y se indican las coordenadas de algunas de sus esquinas:<br />
<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7KK0sv_3XhSY5B_3wgvE136AwgHq7yAhtH88UYAXcpDoTfHk1Ra_lfL6nhRrTuAknhgzO76S5MxDAc661XN61aH1AM0V2quSxsPzUH08-76zhP8phLssj9MemLD5eNj3GE372IlE9Jqae/s1600/CuboBlauHinten-VornVektor.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7KK0sv_3XhSY5B_3wgvE136AwgHq7yAhtH88UYAXcpDoTfHk1Ra_lfL6nhRrTuAknhgzO76S5MxDAc661XN61aH1AM0V2quSxsPzUH08-76zhP8phLssj9MemLD5eNj3GE372IlE9Jqae/s1600/CuboBlauHinten-VornVektor.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 13px;">Cara frontal blanca - cara posterior verde Cara frontal verde - cara posterior blanca<br />
La esquina (000) se encuentra detrás de El vector dibujado en rojo que va de (000)<br />
la cara frontal semitransparente a (111) coincide con una diagonal del cubo<br />
<br /></td></tr>
</tbody></table>
Aquí otro ejemplo de imagen ambigüa a causa del mismo problema de pérdida de información:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjd5gB2eLYPq-FicbriGUP6HxkWqOVA4NKxQc4xpqX9oMhOgyACzG_LskWrlPzmVq6uoG7QAuRECrLDUCyHr4ccEGUo26FOHDMSYvKk_e5PEoZ1JrkVH_NSDkx71UGhZ7ozruE0ud-dAjY-/s1600/Cubos3CambioPerspectiva.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="243" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjd5gB2eLYPq-FicbriGUP6HxkWqOVA4NKxQc4xpqX9oMhOgyACzG_LskWrlPzmVq6uoG7QAuRECrLDUCyHr4ccEGUo26FOHDMSYvKk_e5PEoZ1JrkVH_NSDkx71UGhZ7ozruE0ud-dAjY-/s320/Cubos3CambioPerspectiva.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
En este ejemplo pueden verse en un caso un cubo y en el otro caso dos cubos. Esta ambigüedad se elimina de nuevo al indicar en cada caso las coordenadas del punto engañoso:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgccX-8OfSRLqfHPQLmEhx3cCjK51erZKQE_WKKvXcJ_wJF33S9qrdthSu-ek64x5AqELAcLaAoZHx_jIDrTZVqNYMCcDyDgOkXTPviqteeIw1yVCJIDf4Te7Pc3aTZEn5E2rmWyjSfVZny/s1600/Cubos3CambioPerspEjes.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgccX-8OfSRLqfHPQLmEhx3cCjK51erZKQE_WKKvXcJ_wJF33S9qrdthSu-ek64x5AqELAcLaAoZHx_jIDrTZVqNYMCcDyDgOkXTPviqteeIw1yVCJIDf4Te7Pc3aTZEn5E2rmWyjSfVZny/s1600/Cubos3CambioPerspEjes.jpg" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="text-align: left;"></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="text-align: left;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
Hemos visto con estos ejemplos vistosos que indicar ejes de coordenadas y las coordenadas de algunos puntos (y dibujar, como en el caso del cubo semitransparente, algunas líneas punteadas para localizar mejor la posición relativa de los puntos) facilita enormemente el reconocimiento del objeto y elimina ambigüedades en un dibujo bidimensional de un objeto tridimensional.... pero esto no implica para todo el mundo que no se necesite entrenar aún un poco más las habilidades de visión espacial. </div>
<div class="separator" style="clear: both;">
Puedes entrenarte un poco más en estas habilidades visioespaciales y fortalecer tus conocimientos básicos de geometría analítica accediendo a la siguiente aplicación interactiva en Internet:</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
</div>
<ul>
<li><a href="http://labvirtual.webs.upv.es/Vectores.html"><b>Visualizador de vectores y operaciones básicas con vectores</b></a> (aplicación Java de UPV) Nota: para utilizar la aplicación no es realmente necesario leer todo el largo texto introductorio</li>
</ul>
<br />
<div class="separator" style="clear: both;">
Y para finalizar con un poco de humor, otras dos imágenes que utilizan con gracia este tipo de ambigüedad o ilusiones ópticas:</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZHUgUy4Z-xK39Qw1Uc0vGrui09dpdM5xGoydlV6Dkmm6c57Xyog0wFwsnIImu7xWM1v5RTVY_oqLdGJBPKKh19qclELqGblYVulwrSxPpqPmcPN383FXy1ef0JeuVR-ipp212aNGob-NW/s1600/Cubo-ilusion-chess.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZHUgUy4Z-xK39Qw1Uc0vGrui09dpdM5xGoydlV6Dkmm6c57Xyog0wFwsnIImu7xWM1v5RTVY_oqLdGJBPKKh19qclELqGblYVulwrSxPpqPmcPN383FXy1ef0JeuVR-ipp212aNGob-NW/s1600/Cubo-ilusion-chess.jpg" /></a></div>
<div>
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRUDIIV4Oz68m6QtmsY6qqM4gqqaNGEhbKOgO51kJgbu15touefPrL4brQBLOdB8GYTlEKUSWMxEIPvN7z5FslnzBwiSsf_YMFrTjWTjS2chlpCD6cIjDBYhIS0jhy0rJwh4Swp2Dkgdmm/s1600/Cubos_perspectiva-Static4.cuantarazon.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRUDIIV4Oz68m6QtmsY6qqM4gqqaNGEhbKOgO51kJgbu15touefPrL4brQBLOdB8GYTlEKUSWMxEIPvN7z5FslnzBwiSsf_YMFrTjWTjS2chlpCD6cIjDBYhIS0jhy0rJwh4Swp2Dkgdmm/s640/Cubos_perspectiva-Static4.cuantarazon.jpg" width="424" /></a></div>
<br />Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-4815466530208991372013-04-14T10:25:00.000+02:002013-09-14T17:58:20.694+02:00Entrenamiento en mates con sistemas de ecuaciones e inecuaciones<br />
<br />
<table border="1" cellpadding="2" cellspacing="2" style="width: 580px;"><tbody>
<tr> <td valign="top"><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJo2BPXuwW_aUMfYv_G_An7MwUbgQCyux7De9ch1Jv0Ld_hWULdNxouTB1rH4r-nNU4DGR4JqOC1FOlCUAULWks0MC24SIvpxz41cYX2PtZiJ_sjNkzdBLvEIRuMAqBJU6haNBlLESDKeK/s1600/EqElementos.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="139" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJo2BPXuwW_aUMfYv_G_An7MwUbgQCyux7De9ch1Jv0Ld_hWULdNxouTB1rH4r-nNU4DGR4JqOC1FOlCUAULWks0MC24SIvpxz41cYX2PtZiJ_sjNkzdBLvEIRuMAqBJU6haNBlLESDKeK/s320/EqElementos.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">¿Cuántos cuadrados rojos cumplen la última igualdad?</td></tr>
</tbody></table>
<br /></td> <td align="center" valign="top" width="150"><br />
<br />
<br />
<br />
Ingenio</td> </tr>
<tr> <td valign="top"><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglyLkBU7eDzWntKoVCTjo9bsZM_2BuMql3-6Tq51nuY8QhnKGb7i5eALQxlpgSskrPh4Hv5GkGeAqgKOj02jZuVV7wmMx0NIlu3an0nP5YguJUFqyEOLd68PqOQWb3lcyISIvyYZAe7XFK/s1600/SisEq3Pasos.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="171" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglyLkBU7eDzWntKoVCTjo9bsZM_2BuMql3-6Tq51nuY8QhnKGb7i5eALQxlpgSskrPh4Hv5GkGeAqgKOj02jZuVV7wmMx0NIlu3an0nP5YguJUFqyEOLd68PqOQWb3lcyISIvyYZAe7XFK/s320/SisEq3Pasos.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Encuentra v realizando como máximo 3 cálculos </td></tr>
</tbody></table>
<br /></td> <td align="center" valign="top" width="150"><br />
<br />
<br />
<br />
Razonamiento combinatorio</td> </tr>
<tr> <td valign="top"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCgp3fBdP6Oq1qHr3TWYHvIBx4_G02UukjfTWKMyFZgoOD0L4p8QugiYEnqxflk9ECUpV_ukgaKFmFNNn0uTJi75k6bHiC0ANuIZhK_P0C6gnNsQCSzb01owjNzwC4fUziZbrvsz-Bde0/s1600/SistIneq.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="180" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCgp3fBdP6Oq1qHr3TWYHvIBx4_G02UukjfTWKMyFZgoOD0L4p8QugiYEnqxflk9ECUpV_ukgaKFmFNNn0uTJi75k6bHiC0ANuIZhK_P0C6gnNsQCSzb01owjNzwC4fUziZbrvsz-Bde0/s320/SistIneq.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">¿Qué ecuaciones describen los lados del triángulo y qué sistema de inecuaciones tiene como conjunto de soluciones al área de color rojo?</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br /></td> <td align="center" valign="top" width="150"><br />
<br />
Visión</td> </tr>
<tr> <td valign="top"><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgWsN4csbhGXG6uHw8kG2B7Bld6DlM4cbCzZ7WlqBzLTX1widTRvCRglv6WTZs7bDiQyYkgBPLta5X2Wys6uxKTin_VfXpzGQpcZa-VKpVOMGNiKIFyv1ZaJurJlFGZY9fMus-pDaadTc4X/s1600/SisEqGauss.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="180" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgWsN4csbhGXG6uHw8kG2B7Bld6DlM4cbCzZ7WlqBzLTX1widTRvCRglv6WTZs7bDiQyYkgBPLta5X2Wys6uxKTin_VfXpzGQpcZa-VKpVOMGNiKIFyv1ZaJurJlFGZY9fMus-pDaadTc4X/s320/SisEqGauss.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Los sistemas de ecuaciones lineales pueden resolverse sistemáticamente (p. ej., aplicando el método de triangulación Gauss) </td></tr>
</tbody></table>
<br /></td> <td align="center" valign="top" width="150"><br />
<br />
Abstracción</td> </tr>
<tr> <td valign="top"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
La práctica es muy importante para aumentar la capacidad creativa, soltura en los razonamientos y afianzar los conocimientos.<br />
Aquí unos buenos enlaces para aclarar conceptos y para practicar y entrenarse en Internet:<br />
<br />
<ul>
<li><a href="http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurso/index.htm">Algebra con Papas</a>: colección de interactivos dedicada a la resolución de ecuaciones básicas y no tan básicas, sistemas de ecuaciones e inecuaciones (niveles: 1º- 4ºESO)</li>
<li>Para sistemas de inecuaciones (4º ESO): una buena <a href="http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Inecuaciones_%284%C2%BAESO-B%29">selección de actividades interactivas con de Mar de Alborán</a></li>
<li><a href="http://80.59.24.98/Joomla/IES/Departamentos/Matematicas/Matematicas/4eso/Santillana/5_sistemas_soluc_4B.pdf">Colección completa de ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones e inecuaciones</a> (3º-4º ESO, ed. Santillana)</li>
</ul>
<br />
<br />
<ul></ul>
</td> <td align="center" valign="top" width="150"><br />
<br />
Práctica<br />
<br />
<br /></td> </tr>
</tbody> </table>
<br />Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-41850514122073672512013-04-10T00:20:00.001+02:002013-09-14T17:59:14.054+02:00¿Cuáles son los mejores apuntes?Bart Simpson está desesperado porque se acaba de dar cuenta que ha perdido sus apuntes de mates. Los ha buscado por todas partes y no los encuentra. Ahora no sabe cómo va a poder prepararse para el próximo exámen de mates sobre sistemas de ecuaciones....<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVAidtv8OO8cs1_Fcg6O8uVGL1ftoB5UDRxghCYgmRPgodmmlS2EHoaXfPiyCAm-_cyFNjdcViM8VMiciNgaGRjk70evAvqUbH8LO-atFj5l3mapL8KSaYsCg8LpxjS6oOdOlLFRpJEJSQ/s1600/WorstDayAnim.gif" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVAidtv8OO8cs1_Fcg6O8uVGL1ftoB5UDRxghCYgmRPgodmmlS2EHoaXfPiyCAm-_cyFNjdcViM8VMiciNgaGRjk70evAvqUbH8LO-atFj5l3mapL8KSaYsCg8LpxjS6oOdOlLFRpJEJSQ/s1600/WorstDayAnim.gif" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 13px;">¡Este es el peor día de mi vida!</td></tr>
</tbody></table>
<br />
Su padre, Homer, al enterrarse, le da a Bart un buen consejo.....<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgv89jbojl4rVgpQmX3pI-R5CXpxn-B4nzdaOqEV3xFIHY03I2-j0lotZ-4n9pb-w8ylwFI51PoCDwGqCnpjRJVaJdq-nh4FRzXvcdsu4F7DYlXOf-fUTju8FEkdocBFBPTbH7YZ6oWW2MC/s1600/WorstDaySoFar-Anim.gif" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgv89jbojl4rVgpQmX3pI-R5CXpxn-B4nzdaOqEV3xFIHY03I2-j0lotZ-4n9pb-w8ylwFI51PoCDwGqCnpjRJVaJdq-nh4FRzXvcdsu4F7DYlXOf-fUTju8FEkdocBFBPTbH7YZ6oWW2MC/s1600/WorstDaySoFar-Anim.gif" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 13px;">El peor día ¡HASTA AHORA!</td></tr>
</tbody></table>
<br />
Siempre hay una salida y en este caso lo tiene Bart relativamente fácil: aún tiene tres días hasta el exámen y mañana puede pedir a alguno de sus amigos de clase que le deje un momento sus apuntes para fotocopiarlos.<br />
<br />
Al día siguiente, Bart ha podido fotocopiar los apuntes de dos amigos suyos, Marc y Leandro (de dos porque no está muy seguro si atienden siempre bien en clase y si toman bien los apuntes, aunque uno de ellos le haya comentado que intenta utilizar el <a href="http://mate-fisicsi.blogspot.com/2013/04/como-mejorar-las-notas-i.html">sistema Cornell</a>).<br />
<br />
A continuación puedes ver las primeras páginas de los apuntes (en español) que Bart ha fotocopiado (aquí solo está una pequeña primera parte sobre tema de resolución de sistemas de ecuaciones lineales).<br />
<br />
¿Cuáles te parece que son los apuntes que mejor ayudan al estudio y preparación para el exámen? Porqué?<br />
<br />
Apuntes de Marc:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgCgrTUjcSx367VjO5ShDsb-_DhRGkC3V_FF2tj07Jw5_PgmaCb93MCTgyLZ5bAJ7Y-Et16NgCbJJrrt_x8aVB6wriqbpJ9fmVEnHIGybWfp-vZSEjc7zjOLiaZ5th5TsRyZUt1BnGbkKc/s1600/ApuntesSisEc-Ej3.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgCgrTUjcSx367VjO5ShDsb-_DhRGkC3V_FF2tj07Jw5_PgmaCb93MCTgyLZ5bAJ7Y-Et16NgCbJJrrt_x8aVB6wriqbpJ9fmVEnHIGybWfp-vZSEjc7zjOLiaZ5th5TsRyZUt1BnGbkKc/s1600/ApuntesSisEc-Ej3.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Apuntes de Leandro:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBPREbT5SWE54sEWQbFDt9b93Totwcdxm2c2NnF-vVKJ9cITxrCMY_UO9QHJfZIhrSk6HJoVVJJpFNWe1_Xzede_x8pBqrkNYWk2IhTx2J57qzq5qEHzoLZEiTZtn2MbD_FSE_i2eWSc8/s1600/ApuntesSisEc-Ej1-1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBPREbT5SWE54sEWQbFDt9b93Totwcdxm2c2NnF-vVKJ9cITxrCMY_UO9QHJfZIhrSk6HJoVVJJpFNWe1_Xzede_x8pBqrkNYWk2IhTx2J57qzq5qEHzoLZEiTZtn2MbD_FSE_i2eWSc8/s1600/ApuntesSisEc-Ej1-1.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0UBNJ5_niJkjYNRsqtEIVuiaH3s-F4O_9Ab2qe2-N5WJlTzg3gVKy6AS_fH9dXa-P74IkucuCdLWJf-UwZZnNqfPk1kwIpmLLaaEz5QoUwEaF1k55wxZH0tCwoR_YcWjpgYfYmA6Gt-U/s1600/ApuntesSisEc-Ej1-2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0UBNJ5_niJkjYNRsqtEIVuiaH3s-F4O_9Ab2qe2-N5WJlTzg3gVKy6AS_fH9dXa-P74IkucuCdLWJf-UwZZnNqfPk1kwIpmLLaaEz5QoUwEaF1k55wxZH0tCwoR_YcWjpgYfYmA6Gt-U/s1600/ApuntesSisEc-Ej1-2.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Leandro es el que utiliza más o menos el sistema de <a href="http://mate-fisicsi.blogspot.com/2013/04/como-mejorar-las-notas-i.html">apuntes de Cornell</a> (para más información sobre este sistema puedes consultar esta <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Notas_Cornell">página de Wikipedia</a>).</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
¿Te parece que es un sistema útil?</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<u>Consejo</u>: Analiza bien las distintas razones por las que te parecen más útiles los apuntes de Marc o de Leandro e intenta tenerlas en cuenta en la confección de tus propios apuntes.</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<b>Los apuntes con los que mejor se estudia son siempre los propios, cuando están bien hechos.</b></div>
<br />
<br />Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-4658048992042685802013-04-08T19:25:00.000+02:002013-09-14T17:59:57.902+02:00Cómo mejorar las notas<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiumELSAv8bJHBMOJmp4pe-yhEHwR3zBFU4fEIPkz8T6KzVrH50YC4ztYli1BgVVWimFljzbP1S3NFG9PzKoetW3zaxPhyaqg-G819ZHP6mwgB31vkTpC9IE8yK0IskBDTr6gQj06el4ow/s1600/ConsejoApuntesCalHobb1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiumELSAv8bJHBMOJmp4pe-yhEHwR3zBFU4fEIPkz8T6KzVrH50YC4ztYli1BgVVWimFljzbP1S3NFG9PzKoetW3zaxPhyaqg-G819ZHP6mwgB31vkTpC9IE8yK0IskBDTr6gQj06el4ow/s1600/ConsejoApuntesCalHobb1.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOXRiSj_LEVNu3yj8AhfFjX-E2BMeYQCNRYc_nAEesh_V8synOC0qmqK5f7kPKplOI6Wh2fCKoyuewLrNUkvvbUZuNUSFQQ2NtnTXuxS8nmAymNcg98gTRUihgZInOOfzokHT45T1xp1Y/s1600/ConsejoApuntesCalHob2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOXRiSj_LEVNu3yj8AhfFjX-E2BMeYQCNRYc_nAEesh_V8synOC0qmqK5f7kPKplOI6Wh2fCKoyuewLrNUkvvbUZuNUSFQQ2NtnTXuxS8nmAymNcg98gTRUihgZInOOfzokHT45T1xp1Y/s1600/ConsejoApuntesCalHob2.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvzRyZPYOGKzUIINOXTnK4Aw0vYmfYqCS0YPrvrZOmG5EfQCyh5blcVFReJTmaYPARi9DsxnHl2c2MEvg7AQ2IBXFvAHy4KVVXpphwBXqmA5rQJ14ALhKsimUscM750_rMa9zUsdcsFVM/s1600/PorqueApuntesMesa.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvzRyZPYOGKzUIINOXTnK4Aw0vYmfYqCS0YPrvrZOmG5EfQCyh5blcVFReJTmaYPARi9DsxnHl2c2MEvg7AQ2IBXFvAHy4KVVXpphwBXqmA5rQJ14ALhKsimUscM750_rMa9zUsdcsFVM/s1600/PorqueApuntesMesa.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCOOPcKYbIp2Etf3yPxebgpedSdQkrF23iWR7F1pjla76IdcFnC5oZxbJX9xJcdyoku8D2Qewvo6Dz7LV2rZ1yKlV-ArchgnXGjyy70sxyXSEQ-6-f56vRRubM7FCj5dMlkRg0uO8ZUOg/s1600/ConsejoApuntesCalHobb3.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCOOPcKYbIp2Etf3yPxebgpedSdQkrF23iWR7F1pjla76IdcFnC5oZxbJX9xJcdyoku8D2Qewvo6Dz7LV2rZ1yKlV-ArchgnXGjyy70sxyXSEQ-6-f56vRRubM7FCj5dMlkRg0uO8ZUOg/s1600/ConsejoApuntesCalHobb3.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
</div>
<ol>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Apunta al principio de la clase la fecha y el título del tema que se va a tratar.</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Apunta ordenadamente y con claridad todas las explicaciones importantes (lo que se escribe en la pizarra, las explicaciones que lo aclaran o suplementan, los ejercicios que se hacen).</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Deja espacio libre para poder añadir holgadamente anotaciones complementarias o alguna corrección, si fuera necesaria.</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Deja también un espacio lateral para poder añadir posteriormente, tras la clase, comentarios o notas abreviadas mediante símbolos (p. ej., esto es importante (!) o no lo entiendo (?)) que te ayudarán a fijarte en lo esencial y corregir lo antes posible las lagunas detectadas.</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Apunta al final los deberes o tareas a realizar.</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Guarda los apuntes de cada materia por separado. En lugar de cuadernos para cada asignatura, va muy bien (si eres ordenado y conviene mucho que lo seas) utilizar hojas sueltas perforadas que vas guardando en el apartado dedicado a la asignatura en una carpeta clasificadora. Al utilizar hojas sueltas te resultará mucho más fácil añadir ordenadamente, en el lugar apropiado, las anotaciones complementarias u hojas entregadas por el profesor.</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Una forma eficaz de distribuir la información en cada hoja de apuntes es la del "método Cornell" que se ilustra en el dibujo siguiente:</span></li>
</ol>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></span></div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">
</span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjF7qfcfwUphPzevS9CNUa0lTBlwh3_ZhoEung3W6ES-Krag_DAfjQILCM4gwErgEEl3X8QtDlVYO9dWwxZ78WtC3yk0M5mvHuUJVSpZWXY2W9sMWAyjbO4Yn2rnuHfkfkUn_hwC6ZaUpw/s1600/ApuntesDistribHoja.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjF7qfcfwUphPzevS9CNUa0lTBlwh3_ZhoEung3W6ES-Krag_DAfjQILCM4gwErgEEl3X8QtDlVYO9dWwxZ78WtC3yk0M5mvHuUJVSpZWXY2W9sMWAyjbO4Yn2rnuHfkfkUn_hwC6ZaUpw/s1600/ApuntesDistribHoja.jpg" /></a><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"></span></div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">
</span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></span></div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">
</span>Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-69714728658548326132013-03-31T13:07:00.000+02:002013-08-12T17:07:57.965+02:00Chocolate sin fin<br />
En muchos países existe la tradición de regalar chocolate para las fiestas de pascua, sobre todo figuras de chocolate (huevos, conejos, casitas, etc.).<br />
Se ha encontrado ahora una forma de cortar una pieza de chocolate con la que se consigue comer un trocito de chocolate sin que se modifique finalmente la forma de la pieza de chocolate y esto tantas veces como se desee. Es decir, se va comiendo poco a poco y siempre se regenera de forma mágica la pieza de chocolate. <br />
<br />
¿No es esto maravilloso?<br />
Y ¿cómo es posible?<br />
Aquí hay un ejemplo que lo ilustra:<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgxsqZKBntqASpIL2bjPswGLEFZBHoX4ZtTQrHeqwnee3W_dKxyL6h3e55pqhqCEeJojk0cf4Nii50TlU7len7baIbsSAPOjpBUiUtggPL8fkQmCdPIlWtfhaHpN5er-7DKFVXt2W5qonx9/s1600/SchokoladentafelAnim.gif" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgxsqZKBntqASpIL2bjPswGLEFZBHoX4ZtTQrHeqwnee3W_dKxyL6h3e55pqhqCEeJojk0cf4Nii50TlU7len7baIbsSAPOjpBUiUtggPL8fkQmCdPIlWtfhaHpN5er-7DKFVXt2W5qonx9/s400/SchokoladentafelAnim.gif" width="307" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="font-size: 13px;"><a href="http://i.imgur.com/qjjlkGm.gif">http://i.imgur.com/qjjlkGm.gif</a></td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
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Fácil, ¿no?</div>
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Por si te ha quedado alguna duda de cómo es esto posible, mira este vídeo en el que se hace lo mismo con una tableta mayor - no es en este caso de chocolate, pero el proceso es similar.:</div>
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<br /></div>
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</div>
<br />
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<br /></div>
¡Qué suerte tan grande para las y los amantes del chocolate!<br />
<br />
¿Y cómo es esto posible?<br />
¡Habrá que fijarse en los pequeños detalles!<br />
Aquí os dejo un modelo para poder probarlo y analizarlo detenidamente sin problemas por romper mal la tableta de chocolate:<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYBmeu-b0GkbpKvfaZXKamEzgwfiK5cXiDKPjNSGVfvy-bY9HjC4RscRoeFofDsS2wpPE2Kzkmxt2-in5BZXdVpvGIeRyD2NGu1jNm9vF7c8PEuo9aqv1HyLYhezj_yqPIBAwIwJDORv8/s1600/Modelo-ChocolatePostEsp.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYBmeu-b0GkbpKvfaZXKamEzgwfiK5cXiDKPjNSGVfvy-bY9HjC4RscRoeFofDsS2wpPE2Kzkmxt2-in5BZXdVpvGIeRyD2NGu1jNm9vF7c8PEuo9aqv1HyLYhezj_yqPIBAwIwJDORv8/s1600/Modelo-ChocolatePostEsp.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="https://docs.google.com/file/d/0B2bPuBZIB0ToZDBacl9HVTBLVFE/edit?usp=sharing">Pulsa aquí para acceder a este modelo recortable en formato pdf</a></td></tr>
</tbody></table>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
Este procedimiento para obtener un trocito extra de chocolate se engloba dentro de las llamadas paradojas geométricas (paradoja = algo aparentemente inexplicable), en las que, tras recortar una superficie y reordenar las piezas, se produce aparentemente una pérdida o un aumento de área porque no todas las piezas encajan a la perfección. No deja de ser sorprendente que la suma de los pequeños espacios entre piezas pueda llegar a equivaler, en el caso de la tableta de chocolate, al tamaño de toda una pastilla de chocolate.<br />
<br />
En <a href="http://espejo-ludico.blogspot.com.es/2011/11/breve-historia-de-las-paradojas.html">Breve historia de las paradojas geométricas</a> (del blog Espejo lúdico) se da un repaso de las más conocidas.<br />
<br />
Esta paradoja adaptada al chocolate la he visto descrita en <a href="http://ztfnews.wordpress.com/2013/03/29/el-chocolate-infinito/">ZTFNews</a>.Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3372991405215073116.post-44848962594145618992013-03-22T16:46:00.000+01:002014-06-28T11:44:38.306+02:00Mateconsejos para estas vacaciones de Semana Santa<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjn5-M7a-ukEx74QzeB_uVgK74TyM-tAmRZhRNMa5h_ReRknL2VCJQHr-GkSlNYFbkXksf9qcMCOxDlhzpbl5XsHDVSz_gdiXA4lF534qCGnnVY2gdL-f5wUUNykSz-Tas4aKBCwM_ERuA/s1600/MateconsejoBase.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjn5-M7a-ukEx74QzeB_uVgK74TyM-tAmRZhRNMa5h_ReRknL2VCJQHr-GkSlNYFbkXksf9qcMCOxDlhzpbl5XsHDVSz_gdiXA4lF534qCGnnVY2gdL-f5wUUNykSz-Tas4aKBCwM_ERuA/s320/MateconsejoBase.jpg" height="320" width="279" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: red; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>¡Disfruta de estos días de vacaciones!</b></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: red; font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br /></b></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: red; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>¡Te deseo unas muy buenas vacaciones!</b></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: red; font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br /></b></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: red; font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br /></b></span></div>
<div style="text-align: left;">
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Si deseas aprovechar algún momento libre para una actividad de mates, ponte por favor en contacto conmigo -> <a href="http://mate-fisicsi.blogspot.com.es/p/servicios-leistungen.html">contacto</a><br />
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Carola Schmidt Iglesiashttp://www.blogger.com/profile/11199404495619110058noreply@blogger.com0