Mates & Física & Más: Hasta donde alcanza la vista

Ya estamos en verano y con las vacaciones escolares se han multiplicado también las ocasiones de disfrutar del contacto con la naturaleza y de elucubrar sobre pequeños y grandes enigmas que nos rodean....

Cuando paseaba esta madrugada por el parque agrícola de Collserola (Sant Cugat del Vallés, Barcelona) hice unas pocas fotos ........

Campo de trigo junto a la entrada de Sant Cugat del Vallés al parque de Collserola

y me plantee la pregunta de cuán lejos podría estar el horizonte que distinguía a simple vista al estar en medio de un campo llano en el que no hay elementos que ocultan su visión (árboles, edificios, etc.) ni condiciones atmosféricas adversas (niebla, calima, luuvia, etc.) y de cómo variaría el alcance de la vista si mirase el horizonte desde un mirador o posición de observación más elevada.

Unas vistas muy bonitas sobre el horizonte se tienen desde luego también cuando se está junto al mar o en un velero, siempre y cuando las condiciones atmosféricas sean lo suficientemente buenas.

Cap Roig en la Costa Brava

Una respuesta aproximada a estas preguntas puede deducirse partiendo del bien conocido teorema de Pitágoras.
Aquí un dibujo colorista que he hecho para ilustrarlo mejor:

La tierra no es una esfera perfecta, pero para una estimación aproximada del alcance de nuestra vista hasta el horizonte podemos considerar aceptablemente que tiene un radio medio de 6370 km.

En el triángulo rectángulo del dibujo (el ángulo entre x y r es de 90º):

x es el alcance de la vista o distancia hasta el horizonte

r es el radio medio de la tierra

r + s es la distancia del observador al centro de la tierra y

s la altura de observación (altura de los ojos con respecto al suelo terrestre

Según el teorema de Pitágoras: x² + r² = (r + s)²

que despejando da: x² = 2rs + r² = 2rs + s² = (2r + s) s

Al ser el radio de la tierra mucho mayor que la altura de observación, podemos despreciar su contribución a la suma escrita entre paréntesis, por lo que:

x² ≈ 2rs = 12.740 * s

Por consiguiente, el alcance de la vista hasta el horizonte (o distancia geométrica hasta el horizonte) puede calcularse mediante la siguiente fórmula muy sencilla:

x [en km] ≈ 113 * √¯s [en km]
x [en km] ≈ 3,57 * √¯s [en m]

Para un observador de s = 1,70 m = 0,0017 km de altura, la distancia hasta el horizonte que alcanza ver cuando las condiciones atmosféricas son buenas es de aprox. 4,6 km. Si lo observase desde una plataforma de 30 m de altura (las plataformas de observación en los veleros tienen en promedio una altura s = 0,03 km), entonces el alcance de su vista hasta el horizonte sería ya, según la fórmula, de casi 20 km.

No se han considerado en esta primera aproximación efectos de refracción atmosférica que según las condiciones climatológicas pueden modificar en un factor más o menos grande el alcance de la visión. En el mundo de la náutica, suelen considerarse frecuentemente aplicando un factor de corrección promedio a la fórmula arriba indicada.

Cuando se está junto al mar o se viaja en barco puede observarse también que a veces sólo pueden verse las superestructuras de un barco lejano y no todo su cuerpo o sólo los picos de la montaña de una isla, porque el resto queda como por debajo del horizonte, como ilustra el siguiente dibujo:

¿Qué distancia máxima puede haber entonces desde un punto de observación de s metros de altura hasta la cima de una montaña de altura b que se alcanza observar sobre el horizonte de un paraje llano? ¿Hay también una fórmula sencilla que permita determinar aproximadamente esta distancia en ausencia de perturbaciones atmosféricas y efectos ópticos de refracción?