¿Has resuelto los acertijos para empezar bien el año?

Aquí están las soluciones de los dos acertijos matemáticos de ayer.

1)

Se trata pues de resolver un sistema de ecuaciones pictóricas con cuatro imágenes (variables) festivas que pueden representar buena suerte (estrellas), celebración (copas de cava), buen humor (cara sonriente) y felicidad (corazón). Pero el acertijo no nos pide encontrar el valor asignado a cada una de estas imágenes, sino únicamente el valor resultante de la suma de ellas.

Conviene pues mirar primero con cierto detenimiento estas ecuaciones pictóricas para ver si mediante alguna operación sencilla podemos obtener la ecuación suma buscada.
Y sí, ¡es posible! Lo conseguimos sumando la primera con la tercera ecuación, manteniendo las equivalencias:

La solución del acertijo es pues 18 como casi se podía intuir por la presentación del mismo justo antes de entrar en el año 2018.

Si se ha querido hacer un entrenamiento cerebral más exhaustivo y determinar además el valor asignado a cada una de las imágenes, estas serían las soluciones:
Estrella = 6
Copa = 4
Sonrisa = 3
Corazón = 5

2)

Una forma de resolver este acertijo geométrico consiste en subdividir el triángulo en las siguientes 4 áreas triangulares de mismo tamaño

y ver cómo se subdivide con ellas la parte de color rojo:

Al ser la línea que separa las áreas A y B mediatriz (recta perpendicular a un lado que divide a éste en dos partes iguales) y a la vez mediana (segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto) y altura (perpendicular a un lado y que tiene su extremo en el vértice opuesto) del triángulo de la izquierda, se tiene que A=B, siendo A la mitad de grande que dicho triángulo equilátero izquierdo. 

Además, se deduce del dibujo que las áreas C y D tienen también el mismo tamaño que A.

Puesto que A es la mitad de grande que uno de los 4 triángulos internos y, por tanto, igual a una octava parte del área total T del gran triángulo del Sangaku, tenemos que el área de la parte de color rojo es pues:

Projo = B + C + D + e = 3T/8  +  e

El área e la podemos determinar fácilmente fijándonos en el triángulo equilátero del centro:

Vemos que los trozos e+S forman un triángulo simétrico al triángulo C y que tienen por tanto juntos el mismo área que C o A.
Además, vemos que el vértice interno de S es el punto de intersección de las 3 mediatrices del triángulo equilátero interno, por lo que se situa a un tercio de un lado y dos tercios del vértice opuesto, siendo el área S igual a un tercio del área de dicho triángulo equilátero:

S = 1/3 * T/4 = T/12  (donde T es el área del triángulo del sangaku)

Por consiguiente

e = C - S = T/8 - T/12 

y el área de la parte roja es:

Projo = 3T/8  +  e  = 3T/8 + T/8 - T/12 = 6T/12 - T/12 = 5T/12

Por tanto, la respuesta a la cuestión planteada por el sangaku es: 5/12.

Espero que hayáis disfrutado con estos acertijos matemáticos.