Entrenamiento para el sentido espacial - ¿Sabrías resolver este problema de billar?

Fig. 1 - En la sala de billar

Jan y Anna estuvieron ayer en el nuevo centro recreativo y tuvieron allí la oportunidad de conocer mejor el juego del billar.



Se enteraron de que:

• hay varias modalidades de billar para las que se utilizan también distintos tipos de mesa;
• jugar bien al billar requiere habilidad, concentración, un sentido espacial bien desarrollado y práctica;
• unas leyes físicas rigen el movimiento de las bolas; 
• el baile de las bolas puede calcularse matemáticamente.

Las leyes físicas del billar son fundamental y principalmente las siguientes:

• Cuando el taco impulsa una bola tocándola en el centro, entonces ésta se desplaza en línea recta y rebota en las bandas de la mesa como lo haría un haz de luz en un espejo, es decir, el ángulo de rebote es igual al ángulo de incidencia.

Fig. 2 - Ley de la reflexión (*)

• Si, en cambio, el taco no toca la bola en el centro, se crean movimientos de giro adicional entorno a los ejes horizontal o vertical de la bola. La bola puede moverse entonces a lo largo de una trayectoria curva y deja también de cumplir la ley de la reflexión. En este caso, se dice que el tiro se ha hecho con efecto.

* Nota: En física suelen considerarse los ángulos medidos entre las trayectorias incidente o reflejada y la normal al plano (vector perpendicular al plano) ya que esto permite describir también muy bien los casos en los que la superficie reflectora no es plana. En el caso de una buena mesa de billar, las bandas internas, que son nuestra superficie reflectora, son bien planas y nos podemos ahorrar la normal del plano considerando de forma completamente equivalente los ángulos entre trayectorias y banda en lugar de los complementario utilizados en física.

Jan y Anna quieren prepararse para el próximo encuentro de billar y explorar para ello, sobre papel, el movimiento de las bolas en unos casos seleccionados. Sobretodo, lo que quieren es adquirir un buen ojo para elegir adecuadamente la dirección en la que debe golpear el taco el centro de la bola y entender bien lo que les dijo un monitor de billar:

"Un jugador de billar experimentado ve mentalmente una imagen de la bola meta refleja por la banda y apunta con precisión sobre la imagen mental de dicha bola."

Jan y Anna han decidido centrarse por el momento en dos bolas y estudiar tres posibles formas de impulsar sin efecto una bola y hacerla colisionar contra la otra tras rebotar en una o más bandas, pero aún no saben cómo encontrar rápidamente, sin ir probando, la dirección de golpeo adecuada y el punto de impacto correcto en una banda.

Grupo de cuestiones A: ¿Sabrías explicar y mostrar sobre el papel cómo se puede determinar rápidamente (sin ir probando) la dirección de golpeo adecuada en los tres siguientes casos (Fig. 3 a 5)?

Caso 1:

Fig. 3 - Tirada sin efecto a una banda

La bola blanca ha de impactar la bola roja tras rebotar en la banda derecha de la mesa de billar. ¿Pero en qué dirección debe mantenerse el taco para golpear adecuadamente para este fin la bola blanca? ¿Cómo determina un jugador de billar el punto de impacto correcto en la banda lateral derecha?








Caso2:

Fig. 4 - Tirada sin efecto a 2 bandas

La bola blanca ha de alcanzar la bola roja tras rebotar en dos bandas. ¿Cuál es en este caso la dirección de golpeo correcta en la que debe mantenerse el taco?










Caso 3:

Fig. 5 - Tirada sin efecto a 3 bandas

¿Y cuando la tirada ha de realizarse a tres bandas?

¿La dificultad del tiro varía si se escoge como primera banda de rebote la de la izquierda en lugar de la banda derecha y, como segunda y tercera, la banda de abajo y la de la derecha, respectivamente? ¿Porqué?












Grupo de cuestiones B: La posición de las dos bolas en la figura 3 parece simétrica. Jan y Anna deducen por ello que el punto de impacto ideal de la bola blanca debe encontrarse seguramente en la mitad de la banda interna derecha.

¿Sabrías comprobarlo matemáticamente?

Para ello, podrías situar la superficie de juego y las bolas en un sistema de coordenadas rectangular y asignar, por ejemplo, las coordenadas (0,0), (1,0), (0,2) y (1,2) a las cuatro esquinas (v. Fig. 6), ya que una mesa de billar suele medir el doble de largo que de ancho.

Fig. 6 - Mesa de billar con
sistema de coordenadas

Podrás seguir considerando las mismas siguientes condiciones en el modelo matemático:

• La mesa es perfectamente plana y el impacto se realiza siempre en el centro de las bolas por lo que las bolas se desplazan rectilíneamente y rebotan en las bandas según la ley de la reflexión.
• Despreciamos también los efectos del rozamiento entre bolas y mesa, por lo que no tenemos que preocuparnos si se detienen antes de llegar a su meta.
• Los bolas pueden considerarse puntuales ya que nos centramos en colisiones sin efecto.

La forma de resolver el problema y calcular el punto de impacto ideal en la banda x = 1 puede escogerse a discreción (según el nivel de conocimientos matemáticos):

• A partir de 3º de ESO: mediante funciones de primer grado para describir las trayectorias rectas
• A partir de 1º de Bachillerato: opcionalmente mediante ecuaciones vectoriales

¡A disfrutar!

Puedes consultar una solución al grupo de cuestiones A en mi entrada de blog dedicada a presentar un método de resolución gráfico muy útil.
La solución a la cuestión B y los pasos de los cálculos correspondientes podrás encontrarlos en la siguiente entrada de blog.