Aquí puedes encontrar una forma de resolver la cuestión matemática sobre una partida de billar planteada en mi entrada de blog anterior.
La cuestión era la siguiente:
La posición de las bolas roja y blanca en la figura 2 parece muy simétrica. Jan y Anna deducen por ello que el punto de impacto ideal de la bola blanca para que ésta alcance la bola roja debe encontrarse seguramente en la mitad de la banda interna derecha. ¿Sabrías comprobarlo matemáticamente?
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| Fig. 2 - Tirada sin efecto a una banda |
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| Fig. 3 - Mesa de billar con cuadrícula para localizar bien los puntos relevantes |
Para ello, podrías situar la superficie de juego y las bolas en un sistema de coordenadas rectangular y asignar, por ejemplo, las coordenadas (0,0), (1,0), (0,2) y (1,2) a las cuatro esquinas (v. Fig. 3), ya que una mesa de billar suele medir el doble de largo que de ancho.
Además, puedes considerar que:
- La mesa es perfectamente plana y el impacto se realiza siempre en el centro de las bolas por lo que las bolas se desplazan rectilíneamente y rebotan en las bandas según la ley de la reflexión (Fig. 4).
- Despreciamos también los efectos del rozamiento entre bolas y mesa, por lo que no tenemos que preocuparnos si se detienen antes de llegar a su meta.
- Los bolas pueden considerarse puntuales ya que nos centramos en colisiones sin efecto.
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| Fig. 4 - Ley de la reflexión. |
- A partir de 3º de ESO: mediante funciones de primer grado para describir las trayectorias rectas
- A partir de 1º de Bachillerato: opcionalmente mediante ecuaciones vectoriales
RESOLUCIÓN mediante funciones de primer grado
Según la figura 4, las coordenadas de la posición inicial de la bola blanca son
$$P_b=\left(\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$$
y las coordenadas de la posición de la bola roja
$$P_r=\left(\frac{1}{3};\frac{4}{3}\right)$$
Por otra parte, ya que la bola se mueve en línea recta (según la primera de las condiciones del juego arriba especificadas), podemos describir su trayectoria, antes y después del rebote en la banda, mediante dos funciones de primer grado cuya forma general es:
$$P_b=\left(\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$$
y las coordenadas de la posición de la bola roja
$$P_r=\left(\frac{1}{3};\frac{4}{3}\right)$$
Por otra parte, ya que la bola se mueve en línea recta (según la primera de las condiciones del juego arriba especificadas), podemos describir su trayectoria, antes y después del rebote en la banda, mediante dos funciones de primer grado cuya forma general es:
$$f_1(x) = y = m_1x +b_1$$ y
$$f_2(x) = y = m_2x +b_2$$
$$f_2(x) = y = m_2x +b_2$$
donde m1, m2, b1 y b2 vienen dados por las condiciones que debe cumplir la trayectoria de la bola blanca.
En particular, estas condiciones son:
A) la trayectoria f1 previa al rebote parte de la posición inicial (2/3; 2/3) y llega hasta el punto (1; B) de la banda derecha cuya coordenada B aún no conocemos y queremos encontrar.
B) La trayectoria f2 tras el rebote, parte del punto (1; B) y debe alcanzar la posición de la bola roja (1/3; 4/3), si se ha golpeado con el ángulo correcto la bola blanca y esto es precisamente lo que queremos que se cumpla.
C) Por otra parte, para que se cumpla la ley de la reflexión, la pendiente m2 = - m1 . Esto nos permite simplificar la notación y denotaremos m1 = m y m2 = -m.
Para la primera parte de la trayectoria obtenemos por tanto el siguiente sistema de ecuaciones:
$$\begin{eqnarray}
\frac{2}{3}& = &\frac{2}{3}m+b_1 && \mbox{(ec. 1)} \\
B &=& m+b_1 && \mbox{(ec. 2)}
\end{eqnarray}$$
y para la segunda parte de la trayectoria:
$$\begin{eqnarray}
B &=&-m+b_2 && \mbox{(ec. 3)} \\
\frac{4}{3}& = &-\frac{1}{3}m+b_2 && \mbox{(ec. 4)}
\end{eqnarray}$$
Tenemos pues un sistema de 4 ecuaciones lineales con 4 incognitas b1, b2, m y B que podemos reescribir ordenando convenientemente los distintos términos para facilitar la visión general y la resolución por el método de reducción-sustitución.
$$\begin{eqnarray}
b_1 &+& 0 b_2 &+& \frac{2}{3}m &+& 0 B &=& \frac{2}{3} && \mbox{(ec. 1')} \\
b_1 &+& 0 b_2 &+& m &-& B &=& 0 && \mbox{(ec. 2')} \\
0 b_1 &+& b_2 &-& m &-& B &=& 0 && \mbox{(ec. 3')} \\
0 b_1 &+& b_2 &-&\frac{1}{3}m &+& 0B &= & \frac{4}{3} && \mbox{(ec. 4')}
\end{eqnarray}$$
Vemos que el sistema se reduce rápidamente a un sistema equivalente de 2 ecuaciones con 2 incognitas restando (1') de (2') y (4') de (3'):
$$\begin{eqnarray}
\frac{1}{3}m - B & = & -\frac{2}{3} && \mbox{(ec. 5)} \\
-\frac{2}{3}m - B & = & -\frac{4}{3} && \mbox{(ec. 6)}
\end{eqnarray}$$
Restando ahora (6) de (5) obtenemos
$$ m = \frac{2}{3}$$
y sustituyendo este valor de m en (6),
$$B = -\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{4}{3} = \frac{8}{9}$$
Lo que ya nos permite afirmar que, para que la bola blanca golpee la roja tras rebotar en la banda derecha, es necesario que impacte la banda en el punto (1; 8/9) y no en (1; 1) como pensaban Jan y Anna. Además, hemos obtenido también el valor de la pendiente m de la recta que representa la trayectoria requerida para la bola blanca. Por consiguiente, el ángulo con el que tiene que incidir la bola sobre la banda derecha para que se realice el tiro deseado es:
$$\alpha = 90º - \arctan{\frac{2}{3}}$$
donde hemos considerado, igual que en la figura 4, que el ángulo de incidencia es el que se mide entre la trayectoria y banda.
En particular, estas condiciones son:
A) la trayectoria f1 previa al rebote parte de la posición inicial (2/3; 2/3) y llega hasta el punto (1; B) de la banda derecha cuya coordenada B aún no conocemos y queremos encontrar.
B) La trayectoria f2 tras el rebote, parte del punto (1; B) y debe alcanzar la posición de la bola roja (1/3; 4/3), si se ha golpeado con el ángulo correcto la bola blanca y esto es precisamente lo que queremos que se cumpla.
C) Por otra parte, para que se cumpla la ley de la reflexión, la pendiente m2 = - m1 . Esto nos permite simplificar la notación y denotaremos m1 = m y m2 = -m.
Para la primera parte de la trayectoria obtenemos por tanto el siguiente sistema de ecuaciones:
$$\begin{eqnarray}
\frac{2}{3}& = &\frac{2}{3}m+b_1 && \mbox{(ec. 1)} \\
B &=& m+b_1 && \mbox{(ec. 2)}
\end{eqnarray}$$
y para la segunda parte de la trayectoria:
$$\begin{eqnarray}
B &=&-m+b_2 && \mbox{(ec. 3)} \\
\frac{4}{3}& = &-\frac{1}{3}m+b_2 && \mbox{(ec. 4)}
\end{eqnarray}$$
Tenemos pues un sistema de 4 ecuaciones lineales con 4 incognitas b1, b2, m y B que podemos reescribir ordenando convenientemente los distintos términos para facilitar la visión general y la resolución por el método de reducción-sustitución.
$$\begin{eqnarray}
b_1 &+& 0 b_2 &+& \frac{2}{3}m &+& 0 B &=& \frac{2}{3} && \mbox{(ec. 1')} \\
b_1 &+& 0 b_2 &+& m &-& B &=& 0 && \mbox{(ec. 2')} \\
0 b_1 &+& b_2 &-& m &-& B &=& 0 && \mbox{(ec. 3')} \\
0 b_1 &+& b_2 &-&\frac{1}{3}m &+& 0B &= & \frac{4}{3} && \mbox{(ec. 4')}
\end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray}
\frac{1}{3}m - B & = & -\frac{2}{3} && \mbox{(ec. 5)} \\
-\frac{2}{3}m - B & = & -\frac{4}{3} && \mbox{(ec. 6)}
\end{eqnarray}$$
Restando ahora (6) de (5) obtenemos
$$ m = \frac{2}{3}$$
y sustituyendo este valor de m en (6),
$$B = -\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{4}{3} = \frac{8}{9}$$
Lo que ya nos permite afirmar que, para que la bola blanca golpee la roja tras rebotar en la banda derecha, es necesario que impacte la banda en el punto (1; 8/9) y no en (1; 1) como pensaban Jan y Anna. Además, hemos obtenido también el valor de la pendiente m de la recta que representa la trayectoria requerida para la bola blanca. Por consiguiente, el ángulo con el que tiene que incidir la bola sobre la banda derecha para que se realice el tiro deseado es:
$$\alpha = 90º - \arctan{\frac{2}{3}}$$
donde hemos considerado, igual que en la figura 4, que el ángulo de incidencia es el que se mide entre la trayectoria y banda.
