Mates & Física & Más: Tarjeta fractal para hacer uno mismo, aprender y regalar - Fraktal-Pop-Up-Karte zum Lernen und Selbstbasteln

Los fractales son conocidos por su especial y sorprendente belleza y llaman la atención aunque no se conozcan todas sus características matemáticas.

Man spricht oft von der Schönheit der Fraktale und viele schätzen die ansprechende Bilder der Fraktale obwohl sie keine oder nur geringe matematische Kenntnisse über Fraktale haben.

Una característica llamativa de los fractales es que se pueden hacer tantos zooms como se quiera en una zona del fractal y siempre aparecen nuevos detalles. Los fractales son por tanto figuras geométricas complejas. En el caso de un círculo, por ejemplo, que no es un fractal sino un objeto de la geometría euclídea, podemos ir escogiendo zonas cada vez más pequeñas del mismo y obtenemos finalmente un trozo recto. Un trozito pequeño de un fractal matemático, en cambio, no puede reducirse a una recta, por muy pequeño que sea, porque siempre aparecen nuevos detalles. Los detalles de un fractal presentan además una propiedad característica: la autosemejanza, es decir, la figura que se obtiene al ampliar una zona (o hacer un zoom) es muchas veces una copia semejante de la figura de partida. Esto puede verse en este vídeo, que explora mediante sucesivos zooms una zona fronteriza del conjunto fractal de Mandelbrot, y comprobarse interactivamente (seleccionando con el ratón una zona a explorar) en este interesante Applet sobre este mismo conjunto fractal. Es un fractal muy conocido, cuyo nombre hace referencia al padre de la teoría sobre fractales, Benoit Mandelbrot (1924-2010), que empezó a desarrollarla a comienzos de la década de los años 60 del siglo pasado, destacando asimismo la presencia de fractales en la naturaleza.
Hay una diferencia importante entre los fractales matemáticos y los fractales que se encuentran en la naturaleza (brócoli, helechos, etc.) o los que se fabrican manualmente (como nuestra tarjeta fractal): el zoom repetitivo en las estructuras autosemejantes no puede hacerse indefinidamente, sino sólo hasta una determinada escala.

Eine tolle Eigenart der Fraktale ist, dass man beliebig oft einzoomen und immer wieder neue Details erkennen kann. Fraktale sind daher komplexe geometrische Figuren. Bei einem Kreis sieht man bei Betrachtung eines sehr sehr kleinen Ausschnittes eine Gerade. Ein mathematischer Fraktal hingegen mündet nie in eine einfache Figur wie eine Gerade. Die komplexe Details der Fraktale haben außerdem die Eigenschaft, dass sie oft selbstähnlich sind: Die Figur die man durch Einzoomen erhält, ist eine Kopie der Ausgangsfigur. Das wird in diesem farbvollen Video "Zoom in die Mandelbrotmenge" gezeigt und man kann es auch in diesem Apfelmänchen-Zoom-Applet überprüfen. Es ist anzumerken, dass die Mandelbrotmenge wegen seiner Form auch fraktales Apfelmännchen genann wird, dessen Vater der Mathematiker Benoit Mandelbrot (1924-2010) ist, der auch die Theorie über Fraktale zu Anfang der 60er Jahre des 20. Jahrhunderts aufgestellt und über Fraktale in der Natur geschrieben hat. Fraktale in der Natur (Beispiel: Broccoli Romanesco, Farnblatt) oder gebastelte dreidimensionale Fraktale (wie unsere Pop-Up-Karte) unterscheiden sich allerdings dadurch von den mathematisch idealisierten Fraktalen, dass bei ihnen das Zoomen nicht unendlich oft sondern nur in einem begrenzten Skalenbereich möglich ist.

En el helecho fractal, en cada rama se repite el mismo esquema por lo que la ampliación de una parte del original es muy similar al original. Pero el número de posibles ampliaciones en este fractal real es finito.

Beim Fraktal-Farn hat jeder Zweig immer die selbe Struktur. Deshalb erhält man bei der Vergrößerung eines Teils der Ausgangfigur wieder eine Figur, die der Ausgangsfigur änhlich ist. Man kann allerdings in

diesem realen Fraktal nicht unendlich oft die selbe Struktur durch Vergrößerung erhalten.

Muchos fractales se generan por iteración (repetición de una operación matemática o geométrica): se aplica una operación determinada a un elemento (iniciador) de la figura de partida y esta operación (patrón de modificación llamado generador) se vuelve a aplicar a las partes similares al iniciador que pueda tener la figura resultante, y esto infinitas (fractal ideal matemático) o tantas veces como sea posible (fractal real).
Fractales clásicos generados por iteración son el copo de Koch, el árbol pitagoréico, la curva de Peano, etc., resumidos en esta página interactiva y explicados con algo más detalle matemático en esta página educativa del profesor de instituto Alfonso González. Este sistema de generación iterativo se utiliza también actualmente para crear por ordenador dibujos complejos para películas de animación y lo utilizaremos aquí para crear una tarjeta desplegable fractal.

Fraktale entstehen durch Iteration (Wiederholung einer Rechenvorschrift oder geometrischen Operation): Auf ein bestimmtes Element der Ausgangsfigur (auch Initiator genannt) wird eine Operation angewandt, die dann nochmal auf ähnliche Elemente (verkleinerte Versionen des Initiators) der Ergebnissfigur angewandt wird, und dann nochmal und nochmal und so weiter.
Man erhält auf diese Weise bekannte klassische Fraktale wie die Kochsche Schneeflocke, der pythagoräischer Baum, die Hilbert-Kurve, usw. Die Iterationen führt man sehr leicht mit dem Computer aus und wendet deswegen diese Vorgehensweise auch oft für Zeichentrickfilme an. Wir werden sie auch hier für das Basteln der Fraktal-Pop-Up-Karte benützen.

INSTRUCCIONES - ANLEITUNG

Tras aplicar 3 operaciones iterativas:
Nach 3 iterative Operationen:

1. Escoge una hoja de papel o cartulina rectangular (p. ej. de tamaño DIN A4) y dóblala transversalmente por la mitad. El rectángulo así obtenido es el elemento iniciador del proceso iterativo. Haz lo mismo con otra cartulina rectangular que será la cara externa de la tarjeta desplegable
1. Suche dir ein rechteckiges Blatt Papier oder Stück Tonkarton aus (z.B. mit dem DIN-A4-Format) und falte es quer in der Mitte. Das gefaltete Rechteck ist der Initiator des iterativen Fraktalerzeugungsverfahren. Falte ein gleichgroßes Stück Tonkarton, das die äußere Kartengestaltung bilden wird.

2. Utiliza unas tijeras para hacer 2 cortes desde el borde doblado hasta la mitad, que sean paralelos y separados cada uno de los bordes laterales más próximos por una distancia de un cuarto del ancho del rectángulo. Dobla a continuación el rectángulo interior de tal forma que el canto doblado coincida ahora con los cantos superiores.
2. Schneide zwei gerade Inzisionen von der Falzkante bis zur Rechteck-Mittellinie, so dass der Abstand zwischen seitliche Papierkante und nächstliegendem Einschnitt gleich 1/4 der Falzkantenlänge ist. Falte anschließend das kleinere Innenrechteck zur Hälfte und zieh die neue Falz mit etwas Druck nach.

3. Vuelve a hacer dos cortes paralelos en el rectángulo interno de forma que lleguen sólo hasta la mitad del misto y estén separados del canto lateral un cuarto de la longitud del largo del rectángulo interno. (el paso 2 o 3 es la operación generadora)
3. Schneide nochmal zwei gerade Inzisionen von der kleineren mittleren Falzkante bis zur Mittellinie des inneren Rechtecks, so dass der Abstand zwischen seitliche Rechteckseite und nächstliegendem Einschnitt wiederum 1/4 der inneren Falzkantenlänge beträgt. Schritt 2 (oder 3) ist die iterative Operation (, die auf die Initiator ähnliche Rechtecke angewandt wird.

4. Repite el paso 2 (la operación iterativa) tantas veces como te sea posible (depende del tamaño y grosor del papel escogido)
4. Wiederhole Schritt 2 (iterative operation) so oft wie möglich. Das hängt von der ausgesuchten Papier-Größe und -Stärke ab.

5. Deshaz todas las dobleces salvo la primera del rectángulo iniciador. Podrás observar un esquema de cortes autosemejantes (recuerda al conjunto fractal de Cantor).
5. Entfalte anschließend das Blatt bis zum Ausgangs-Initiator (das einmal gefaltete große Rechteck von Schritt 1). Du wirst jetzt eine Reihe Schnitte sehen können, die selbstähnlich sind.

6. Dobla de nuevo los rectángulos interiores pero de tal forma que el borde doblado quede ahora en la parte interna, o sea, entre los 2 marcos rectangulares (si lo abres, obtendrás una serie de paralelepípedos autosimilares como los ilustrados en el último dibujo o fotografía).
6. Falte nun die Innenrechtecke so, dass die Falzkante nicht außerhalb sondern zwischen den 2 großen Rechteckrahmen auf die oberen Kante zu liegen kommt (beim Aufklappen erhält man eine Reihe selbstähnlicher Quadern, wie das nächste Bild illustriert)

7. Para crear la tarjeta desplegable, pon algo de pegamento en las caras externas de los marcos rectangulares y pégalos a la otra cartulina del mismo tamaño que preparaste en el paso 1.
7. Um die Pop-Up-Karte zu erzeugen, versetze etwas Klebstoff auf die Außenseiten des rechteckigen Rahmens und klebe anschließend den Rahmen auf das zweite Tonkartonstück, das im Schritt 1 auch zur Hälfte gefaltet wurde.