Entrenamiento B para el sentido espacial. ¿Has resuelto el problema matemático del billar?

Aquí puedes encontrar una forma de resolver la cuestión matemática sobre una partida de billar planteada en mi entrada de blog anterior.

La cuestión era la siguiente:


La posición de las bolas roja y blanca en la figura 2 parece muy simétrica. Jan y Anna deducen por ello que el punto de impacto ideal de la bola blanca para que ésta alcance la bola roja debe encontrarse seguramente en la mitad de la banda interna derecha. ¿Sabrías comprobarlo matemáticamente?                                                       

Fig. 2 - Tirada sin efecto a una banda

Fig. 3 - Mesa de billar con cuadrícula para localizar bien
los puntos relevantes

                     
Para ello, podrías situar la superficie de juego y las bolas en un sistema de coordenadas rectangular y asignar, por ejemplo, las coordenadas (0,0), (1,0), (0,2) y (1,2) a las cuatro esquinas (v. Fig. 3), ya que una mesa de billar suele medir el doble de largo que de ancho.

Además, puedes considerar que:

• La mesa es perfectamente plana y el impacto se realiza siempre en el centro de las bolas por lo que las bolas se desplazan rectilíneamente y rebotan en las bandas según la ley de la reflexión (Fig. 4).
• Despreciamos también los efectos del rozamiento entre bolas y mesa, por lo que no tenemos que preocuparnos si se detienen antes de llegar a su meta.
• Los bolas pueden considerarse puntuales ya que nos centramos en colisiones sin efecto.

Fig. 4 - Ley de la reflexión.

La forma de resolver el problema y calcular el punto de impacto ideal en la banda x = 1 puede escogerse a discreción (según el nivel de conocimientos matemáticos):

• A partir de 3º de ESO: mediante funciones de primer grado para describir las trayectorias rectas
• A partir de 1º de Bachillerato: opcionalmente mediante ecuaciones vectoriales

RESOLUCIÓN mediante funciones de primer grado

Según la figura 4, las coordenadas de la posición inicial de la bola blanca son
$$P_b=\left(\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$$
y las coordenadas de la posición de la bola roja
$$P_r=\left(\frac{1}{3};\frac{4}{3}\right)$$

Por otra parte, ya que la bola se mueve en línea recta (según la primera de las condiciones del juego arriba especificadas), podemos describir su trayectoria, antes y después del rebote en la banda, mediante dos funciones de primer grado cuya forma general es:

$$f_1(x) = y = m_1x +b_1$$ y
$$f_2(x) = y = m_2x +b_2$$

donde m1, m2, b1 y b2 vienen dados por las condiciones que debe cumplir la trayectoria de la bola blanca.
En particular, estas condiciones son:
A) la trayectoria f1 previa al rebote parte de la posición inicial (2/3; 2/3) y llega hasta el punto (1; B) de la banda derecha cuya coordenada B aún no conocemos y queremos encontrar.
B) La trayectoria f2 tras el rebote, parte del punto (1; B) y debe alcanzar la posición de la bola roja (1/3; 4/3), si se ha golpeado con el ángulo correcto la bola blanca y esto es precisamente lo que queremos que se cumpla.
C) Por otra parte, para que se cumpla la ley de la reflexión, la pendiente m2 = - m1 . Esto nos permite simplificar la notación y denotaremos m1 = m y m2 = -m.

Para la primera parte de la trayectoria obtenemos por tanto el siguiente sistema de ecuaciones:
$$\begin{eqnarray}
 \frac{2}{3}& = &\frac{2}{3}m+b_1 && \mbox{(ec. 1)} \\
B &=& m+b_1 && \mbox{(ec. 2)}
\end{eqnarray}$$
y para la segunda parte de la trayectoria:
$$\begin{eqnarray}
B &=&-m+b_2 && \mbox{(ec. 3)} \\
 \frac{4}{3}& = &-\frac{1}{3}m+b_2  && \mbox{(ec. 4)}
\end{eqnarray}$$

Tenemos pues un sistema de 4 ecuaciones lineales con 4 incognitas b1, b2, m y B que podemos reescribir ordenando convenientemente los distintos términos para facilitar la visión general y la resolución por el método de reducción-sustitución.
$$\begin{eqnarray}
b_1 &+& 0 b_2 &+& \frac{2}{3}m &+& 0 B &=& \frac{2}{3} && \mbox{(ec. 1')} \\
b_1 &+& 0 b_2 &+& m &-& B &=& 0 && \mbox{(ec. 2')} \\
0 b_1 &+& b_2 &-& m &-& B &=& 0 && \mbox{(ec. 3')} \\
0 b_1 &+& b_2 &-&\frac{1}{3}m &+& 0B &= & \frac{4}{3} && \mbox{(ec. 4')}
\end{eqnarray}$$

Vemos que el sistema se reduce rápidamente a un sistema equivalente de 2 ecuaciones con 2 incognitas restando (1') de (2') y (4') de (3'):
$$\begin{eqnarray}
\frac{1}{3}m - B & = & -\frac{2}{3} && \mbox{(ec. 5)} \\
-\frac{2}{3}m - B & = & -\frac{4}{3}  && \mbox{(ec. 6)}
\end{eqnarray}$$

Restando ahora (6) de (5) obtenemos
$$ m = \frac{2}{3}$$
y sustituyendo este valor de m en (6),
$$B = -\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{4}{3} = \frac{8}{9}$$

Lo que ya nos permite afirmar que, para que la bola blanca golpee la roja tras rebotar en la banda derecha, es necesario que impacte la banda en el punto (1; 8/9) y no en (1; 1) como pensaban Jan y Anna. Además, hemos obtenido también el valor de la pendiente m de la recta que representa la trayectoria requerida para la bola blanca. Por consiguiente, el ángulo con el que tiene que incidir la bola sobre la banda derecha para que se realice el tiro deseado es:
$$\alpha = 90º - \arctan{\frac{2}{3}}$$
donde hemos considerado, igual que en la figura 4, que el ángulo de incidencia es el que se mide entre la trayectoria y banda.

Entrenamiento A para el sentido espacial. ¿Has resuelto el problema geométrico del billar?

Casi cualquiera de nosotros a tenido la ocasión de haber jugado alguna vez al billar. Y seguro que lo que parecía fácil, eso de dar un golpe a una bola con un taco para que choque luego con otra, resultó ser mucho más difícil de lo esperado.

Sin embargo, hay algunas cuestiones sobre el billar que se pueden resolver geométrica y matemáticamente sobre el papel y que planteé en mi entrada de blog anterior. ¿Las has resuelto?

En la presente entrada de blog puedes encontrar una forma de resolver las cuestiones de tipo geométrico que no requieren la realización de ningún cálculo (grupo de cuestiones A). La resolución de las cuestiones matemáticas que requieren un cálculo (las del grupo B), podrás encontrarla en la siguiente entrada de blog.

Para situarnos, he aquí un breve resumen del problema a resolver:

Jan a Anna querían prepararse para su segundo encuentro de billar y analizar sobre papel el recorrido de una bola en unos casos sencillos, a fin de entrenar su sentido espacial y conseguir un buen ojo para la dirección de tiro.

Ya saben que la ley física que rige fundamentalmente el juego del billar es la ley de la reflexión, pero les falta resolver lo siguiente:

Grupo de cuestiones A: ¿Cómo puede encontrarse fácilmente, sin ir probando, la dirección de tiro adecuada en los tres siguientes casos de tiro sin efecto, tal como lo podría hacer mentalmente un jugador de billar?

      

         Caso 1 - Tiro a una banda   

       

          Caso 2 - Tiro a dos bandas   

    

         Caso 3 - Tiro a 3 bandas 

¿La dificultad del tiro depende de la elección de las bandas? ¿El tiro a tres bandas es más fácil si se realiza golpeando la bola hacia la banda de abajo? ¿Porqué?

Un posible procedimiento de resolución es el siguiente:

Para empezar, podemos trazar una recta desde la bola blanca hacia un punto arbitrario de la zona central de la banda interna derecha, medir er ángulo entre el recorrido trazado y la superficie interna de la banda y, a continuación, trazar el recorrido de la bola refleja formando un mismo ángulo con la banda. Y es que según la ley de la reflexión, el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia.

Seguramente, la trayectoria que hemos trazado no llega a tocar la bola roja. Tenemos pues que cambiar la dirección del trayecto según el cual se dirige la bola blanca hacia la banda y trazar como antes la correspondiente trayectoria de la bola reflejada.

Fig 4 - Buscando el ángulo de tiro adecuado

Tras variar de forma sistemática el ángulo de incidencia, podemos encontrar finalmente la dirección de tiro adecuada con la que la bola blanca alcanza, tras rebotar, el centro de la bola roja.

Fig. 5 - Ahora lo hemos encontrado.
El recorrido de la bola blanca va hacia el centro de la bola roja.

Pero esta solución no nos satisface. Lo que queríamos era encontrar la dirección de tiro correcta sin tener que ir probando. Nos falta indagar algo más y a ver si se nos ocurre algo mirando bien lo que tenemos hasta ahora....

Seguramente, además de la ley de la reflexión, hemos adquirido algunos conocimientos adicionales de óptica durante las lecciones de física de 1º o 2º de ESO y tal vez nos acordamos también de cómo se forman las imágenes en un espejo plano.

Fig. 6 - Formación de una imagen en un espejo plano

Como puede verse en la figura 6, todos los rayos de luz procedentes de P, que inciden sobre el espejo plano, se reflejan conforme a la ley de la reflexión y como si proviniesen de un punto P' simétrico de P respecto al espejo plano. P' es el punto imagen de P que vemos en el espejo.

Las figuras 5 y 6 parecen muy similares, sobre todo si prolongamos los recorridos divergentes de nuestra bola blanca en la figura 5 y situamos en el punto de convergencia de los recorridos una imagen de la bola blanca:

Fig. 7 - Prolongación hacia atrás de los recorridos divergentes e
imágenes de las bolas al imaginar un espejo en lugar de la banda

Este parecido no es de extrañar. Las dos figuras 5 y 6 son de hecho una ilustración de la ley de la reflexión. Además, el recorrido de una bola es también reversible (roja ha de golpear a blanca) y podemos por tanto imaginarnos también una imagen de la bola roja situada en el punto simétrico de la posición de la bola roja respecto de la banda.

Visto esto, podemos simplificar enormemente la búsqueda de la dirección de tiro adecuada. Lo único que tenemos que hacer es localizar (gráfica o mentalmente) la imagen especular de la bola roja y dirigir la bola blanca en dirección hacia esa imagen para conseguir golpear la bola roja. La siguiente figura lo ilustra en el caso de un tiro a una banda (caso 1):

Fig. 8 - Ilustración de la imagen de la bola roja que se obtendría al colocar un espejo
y de la dirección del tiro a realizar (tras sacar el espejo)

Caso 2:

Para encontrar la dirección de tiro adecuada para un tiro a dos bandas, tenemos que localizar la imagen de la imagen, es decir, la imagen formada por reflexión en la segunda banda de la primera imagen de la bola roja:

Fig. 9 - Ilustración de la imagen de la bola en el caso de dos espejos y
trayectoria que debe realizar la bola blanca en el caso de un tiro a dos bandas

Estas imágenes especulares pueden representarse fácilmente en dos dimensiones, dibujando los puntos simétricos de los puntos representativos (bolas y esquinas de la mesa) respecto de las dos bandas internas (línea vertical que representa la banda lateral derecha vista desde arriba y línea horizontal para la banda lateral superior). Si dibujamos a continuación el recorrido del tiro a dos bandas uniendo la posición de la bola blanca (B) con la imagen de la imagen de la bola roja (R''), obtenemos el siguiente dibujo ilustrativo de un tiro a dos bandas:

Fig. 10 - Dibujo bidimensional de un tiro a dos bandas

En la parte inferior izquierda de la figura 10, se encuentra el área de juego verde de la mesa de billar, en la que hemos representado también la trayectoria que realiza la bola blanca sobre la mesa antes de golpear la bola roja. En la inferior derecha podemos encontrar la imagen especular de la mesa y las bolas respecto de la banda interna derecha (línea vertical central en nuestra vista bidimensional desde arriba). En la parte superior del dibujo, tenemos las imágenes especulares Ba' y Ra' de B y R respecto de la banda interna superior (línea horizontal central) y las imágenes doblemente especulares B'' y R'' que son las imágenes especulares de Ba' y Ra' respecto de la banda interna derecha o también las imágenes especulares de Bd' y Rd' respecto de la banda interna superior.

Esta representación rectilínea del recorrido de la bola en un espacio bidimensional formado por una red rectangular de imágenes especulares resulta también muy útil para analizar gráfica y visualmente las distintas opciones de juego que se tienen en una determinada distribución de las bolas. Esto se manifiesta claramente en el siguiente caso.

Caso 3:

Para determinar la dirección de tiro adecuada para un tiro a tres bandas, utilizaremos el mismo procedimiento gráfico de antes y obtenemos, al unir la posición de la bola blanca B con la de la imagen triplemente reflejada R''', la siguiente trayectoria que debe realizar la bola blanca para alcanzar el centro de la bola roja, en el caso de escoger la banda lateral derecha como primera pared de rebote:

Fig. 11 - Dibujo de un tiro a tres bandas en la red de imágenes especulares

En el rectángulo verde, que representa el área de juego de la mesa de billar, puede verse la trayectoria real cuya imagen especular resultante de la reflexión en los tres espejos (bandas) es la línea recta entre B y R'''.
¿Pero es esta opción la mejor? ¿Podríamos alcanzar más fácilmente la bola roja mediante rebotes en otras tres bandas? Una representación de todas las posibles trayectorias que unen B con las distintas imágenes R''' que se obtienen en la red de imágenes especulares nos facilita la respuesta a estas preguntas.

Fig. 12 - Ilustración del recorrido de la bola en una vista reticular de imágenes especulares.
Los recorridos en azul corresponden a las cuatro variantes de un tiro a 3 bandas,
los recorridos en verde y en rojo, a tiros a una y dos bandas, respectivamente.

La figura 12 nos permite ver qué variantes son más fáciles de realizar. Por ejemplo, en la disposición de bolas en la que nos hemos centrado, la opción de un tiro con rebote en la larga derecha (I) y luego en la corta superior (S) y larga derecha (D) (recorrido azul oscuro) es más difícil de realizar que la variante D-S-L (recorrido azul claro) debido a que es más fácil, en la primera opción, que se confundan las imágenes R''' y R' que uno solo ve mentalmente.
Los dos posibles recorridos a tres bandas que se dirigen hacia abajo (azul medio claro) son realizables en teoría, pero exigen una postura muy incómoda para el jugador que le impediría controlar bien el tiro y aplicar la fuerza requerida.
La figura 12 muestra asimismo que no puede realizarse un tiro a dos bandas I-O (recorrido rojo oscuro) debido a que requiere un ángulo de tiro que coincide, en la disposición de bolas considerada, con la de un tiro directo de la blanca contra la roja.

Todos estos ejemplos demuestran que un sentido espacial bien entrenado para la localización de imágenes especulares constituyen una guía útil para cualquier jugador de billar.

El procedimiento gráfico reticular es muy útil, pero no exacto. Si queremos determinar con exactitud el punto de impacto en una banda y el ángulo de tiro, tenemos que calcular la trayectoria de la bola. Esto lo haremos en la siguiente entrada de blog (entrenamiento B).

Entrenamiento para el sentido espacial - ¿Sabrías resolver este problema de billar?

Fig. 1 - En la sala de billar

Jan y Anna estuvieron ayer en el nuevo centro recreativo y tuvieron allí la oportunidad de conocer mejor el juego del billar.



Se enteraron de que:

• hay varias modalidades de billar para las que se utilizan también distintos tipos de mesa;
• jugar bien al billar requiere habilidad, concentración, un sentido espacial bien desarrollado y práctica;
• unas leyes físicas rigen el movimiento de las bolas; 
• el baile de las bolas puede calcularse matemáticamente.

Las leyes físicas del billar son fundamental y principalmente las siguientes:

• Cuando el taco impulsa una bola tocándola en el centro, entonces ésta se desplaza en línea recta y rebota en las bandas de la mesa como lo haría un haz de luz en un espejo, es decir, el ángulo de rebote es igual al ángulo de incidencia.

Fig. 2 - Ley de la reflexión (*)

• Si, en cambio, el taco no toca la bola en el centro, se crean movimientos de giro adicional entorno a los ejes horizontal o vertical de la bola. La bola puede moverse entonces a lo largo de una trayectoria curva y deja también de cumplir la ley de la reflexión. En este caso, se dice que el tiro se ha hecho con efecto.

* Nota: En física suelen considerarse los ángulos medidos entre las trayectorias incidente o reflejada y la normal al plano (vector perpendicular al plano) ya que esto permite describir también muy bien los casos en los que la superficie reflectora no es plana. En el caso de una buena mesa de billar, las bandas internas, que son nuestra superficie reflectora, son bien planas y nos podemos ahorrar la normal del plano considerando de forma completamente equivalente los ángulos entre trayectorias y banda en lugar de los complementario utilizados en física.

Jan y Anna quieren prepararse para el próximo encuentro de billar y explorar para ello, sobre papel, el movimiento de las bolas en unos casos seleccionados. Sobretodo, lo que quieren es adquirir un buen ojo para elegir adecuadamente la dirección en la que debe golpear el taco el centro de la bola y entender bien lo que les dijo un monitor de billar:

"Un jugador de billar experimentado ve mentalmente una imagen de la bola meta refleja por la banda y apunta con precisión sobre la imagen mental de dicha bola."

Jan y Anna han decidido centrarse por el momento en dos bolas y estudiar tres posibles formas de impulsar sin efecto una bola y hacerla colisionar contra la otra tras rebotar en una o más bandas, pero aún no saben cómo encontrar rápidamente, sin ir probando, la dirección de golpeo adecuada y el punto de impacto correcto en una banda.

Grupo de cuestiones A: ¿Sabrías explicar y mostrar sobre el papel cómo se puede determinar rápidamente (sin ir probando) la dirección de golpeo adecuada en los tres siguientes casos (Fig. 3 a 5)?

Caso 1:

Fig. 3 - Tirada sin efecto a una banda

La bola blanca ha de impactar la bola roja tras rebotar en la banda derecha de la mesa de billar. ¿Pero en qué dirección debe mantenerse el taco para golpear adecuadamente para este fin la bola blanca? ¿Cómo determina un jugador de billar el punto de impacto correcto en la banda lateral derecha?








Caso2:

Fig. 4 - Tirada sin efecto a 2 bandas

La bola blanca ha de alcanzar la bola roja tras rebotar en dos bandas. ¿Cuál es en este caso la dirección de golpeo correcta en la que debe mantenerse el taco?










Caso 3:

Fig. 5 - Tirada sin efecto a 3 bandas

¿Y cuando la tirada ha de realizarse a tres bandas?

¿La dificultad del tiro varía si se escoge como primera banda de rebote la de la izquierda en lugar de la banda derecha y, como segunda y tercera, la banda de abajo y la de la derecha, respectivamente? ¿Porqué?












Grupo de cuestiones B: La posición de las dos bolas en la figura 3 parece simétrica. Jan y Anna deducen por ello que el punto de impacto ideal de la bola blanca debe encontrarse seguramente en la mitad de la banda interna derecha.

¿Sabrías comprobarlo matemáticamente?

Para ello, podrías situar la superficie de juego y las bolas en un sistema de coordenadas rectangular y asignar, por ejemplo, las coordenadas (0,0), (1,0), (0,2) y (1,2) a las cuatro esquinas (v. Fig. 6), ya que una mesa de billar suele medir el doble de largo que de ancho.

Fig. 6 - Mesa de billar con
sistema de coordenadas

Podrás seguir considerando las mismas siguientes condiciones en el modelo matemático:

• La mesa es perfectamente plana y el impacto se realiza siempre en el centro de las bolas por lo que las bolas se desplazan rectilíneamente y rebotan en las bandas según la ley de la reflexión.
• Despreciamos también los efectos del rozamiento entre bolas y mesa, por lo que no tenemos que preocuparnos si se detienen antes de llegar a su meta.
• Los bolas pueden considerarse puntuales ya que nos centramos en colisiones sin efecto.

La forma de resolver el problema y calcular el punto de impacto ideal en la banda x = 1 puede escogerse a discreción (según el nivel de conocimientos matemáticos):

• A partir de 3º de ESO: mediante funciones de primer grado para describir las trayectorias rectas
• A partir de 1º de Bachillerato: opcionalmente mediante ecuaciones vectoriales

¡A disfrutar!

Puedes consultar una solución al grupo de cuestiones A en mi entrada de blog dedicada a presentar un método de resolución gráfico muy útil.
La solución a la cuestión B y los pasos de los cálculos correspondientes podrás encontrarlos en la siguiente entrada de blog.

¿Has resuelto los acertijos para empezar bien el año?

Aquí están las soluciones de los dos acertijos matemáticos de ayer.

1)

Se trata pues de resolver un sistema de ecuaciones pictóricas con cuatro imágenes (variables) festivas que pueden representar buena suerte (estrellas), celebración (copas de cava), buen humor (cara sonriente) y felicidad (corazón). Pero el acertijo no nos pide encontrar el valor asignado a cada una de estas imágenes, sino únicamente el valor resultante de la suma de ellas.

Conviene pues mirar primero con cierto detenimiento estas ecuaciones pictóricas para ver si mediante alguna operación sencilla podemos obtener la ecuación suma buscada.
Y sí, ¡es posible! Lo conseguimos sumando la primera con la tercera ecuación, manteniendo las equivalencias:

La solución del acertijo es pues 18 como casi se podía intuir por la presentación del mismo justo antes de entrar en el año 2018.

Si se ha querido hacer un entrenamiento cerebral más exhaustivo y determinar además el valor asignado a cada una de las imágenes, estas serían las soluciones:
Estrella = 6
Copa = 4
Sonrisa = 3
Corazón = 5

2)

Una forma de resolver este acertijo geométrico consiste en subdividir el triángulo en las siguientes 4 áreas triangulares de mismo tamaño

y ver cómo se subdivide con ellas la parte de color rojo:

Al ser la línea que separa las áreas A y B mediatriz (recta perpendicular a un lado que divide a éste en dos partes iguales) y a la vez mediana (segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto) y altura (perpendicular a un lado y que tiene su extremo en el vértice opuesto) del triángulo de la izquierda, se tiene que A=B, siendo A la mitad de grande que dicho triángulo equilátero izquierdo. 

Además, se deduce del dibujo que las áreas C y D tienen también el mismo tamaño que A.

Puesto que A es la mitad de grande que uno de los 4 triángulos internos y, por tanto, igual a una octava parte del área total T del gran triángulo del Sangaku, tenemos que el área de la parte de color rojo es pues:

Projo = B + C + D + e = 3T/8  +  e

El área e la podemos determinar fácilmente fijándonos en el triángulo equilátero del centro:

Vemos que los trozos e+S forman un triángulo simétrico al triángulo C y que tienen por tanto juntos el mismo área que C o A.
Además, vemos que el vértice interno de S es el punto de intersección de las 3 mediatrices del triángulo equilátero interno, por lo que se situa a un tercio de un lado y dos tercios del vértice opuesto, siendo el área S igual a un tercio del área de dicho triángulo equilátero:

S = 1/3 * T/4 = T/12  (donde T es el área del triángulo del sangaku)

Por consiguiente

e = C - S = T/8 - T/12 

y el área de la parte roja es:

Projo = 3T/8  +  e  = 3T/8 + T/8 - T/12 = 6T/12 - T/12 = 5T/12

Por tanto, la respuesta a la cuestión planteada por el sangaku es: 5/12.

Espero que hayáis disfrutado con estos acertijos matemáticos.