Entrenamiento B para el sentido espacial. ¿Has resuelto el problema matemático del billar?

Aquí puedes encontrar una forma de resolver la cuestión matemática sobre una partida de billar planteada en mi entrada de blog anterior.

La cuestión era la siguiente:


La posición de las bolas roja y blanca en la figura 2 parece muy simétrica. Jan y Anna deducen por ello que el punto de impacto ideal de la bola blanca para que ésta alcance la bola roja debe encontrarse seguramente en la mitad de la banda interna derecha. ¿Sabrías comprobarlo matemáticamente?                                                       

Fig. 2 - Tirada sin efecto a una banda

Fig. 3 - Mesa de billar con cuadrícula para localizar bien
los puntos relevantes

                     
Para ello, podrías situar la superficie de juego y las bolas en un sistema de coordenadas rectangular y asignar, por ejemplo, las coordenadas (0,0), (1,0), (0,2) y (1,2) a las cuatro esquinas (v. Fig. 3), ya que una mesa de billar suele medir el doble de largo que de ancho.

Además, puedes considerar que:

• La mesa es perfectamente plana y el impacto se realiza siempre en el centro de las bolas por lo que las bolas se desplazan rectilíneamente y rebotan en las bandas según la ley de la reflexión (Fig. 4).
• Despreciamos también los efectos del rozamiento entre bolas y mesa, por lo que no tenemos que preocuparnos si se detienen antes de llegar a su meta.
• Los bolas pueden considerarse puntuales ya que nos centramos en colisiones sin efecto.

Fig. 4 - Ley de la reflexión.

La forma de resolver el problema y calcular el punto de impacto ideal en la banda x = 1 puede escogerse a discreción (según el nivel de conocimientos matemáticos):

• A partir de 3º de ESO: mediante funciones de primer grado para describir las trayectorias rectas
• A partir de 1º de Bachillerato: opcionalmente mediante ecuaciones vectoriales

RESOLUCIÓN mediante funciones de primer grado

Según la figura 4, las coordenadas de la posición inicial de la bola blanca son
$$P_b=\left(\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$$
y las coordenadas de la posición de la bola roja
$$P_r=\left(\frac{1}{3};\frac{4}{3}\right)$$

Por otra parte, ya que la bola se mueve en línea recta (según la primera de las condiciones del juego arriba especificadas), podemos describir su trayectoria, antes y después del rebote en la banda, mediante dos funciones de primer grado cuya forma general es:

$$f_1(x) = y = m_1x +b_1$$ y
$$f_2(x) = y = m_2x +b_2$$

donde m1, m2, b1 y b2 vienen dados por las condiciones que debe cumplir la trayectoria de la bola blanca.
En particular, estas condiciones son:
A) la trayectoria f1 previa al rebote parte de la posición inicial (2/3; 2/3) y llega hasta el punto (1; B) de la banda derecha cuya coordenada B aún no conocemos y queremos encontrar.
B) La trayectoria f2 tras el rebote, parte del punto (1; B) y debe alcanzar la posición de la bola roja (1/3; 4/3), si se ha golpeado con el ángulo correcto la bola blanca y esto es precisamente lo que queremos que se cumpla.
C) Por otra parte, para que se cumpla la ley de la reflexión, la pendiente m2 = - m1 . Esto nos permite simplificar la notación y denotaremos m1 = m y m2 = -m.

Para la primera parte de la trayectoria obtenemos por tanto el siguiente sistema de ecuaciones:
$$\begin{eqnarray}
 \frac{2}{3}& = &\frac{2}{3}m+b_1 && \mbox{(ec. 1)} \\
B &=& m+b_1 && \mbox{(ec. 2)}
\end{eqnarray}$$
y para la segunda parte de la trayectoria:
$$\begin{eqnarray}
B &=&-m+b_2 && \mbox{(ec. 3)} \\
 \frac{4}{3}& = &-\frac{1}{3}m+b_2  && \mbox{(ec. 4)}
\end{eqnarray}$$

Tenemos pues un sistema de 4 ecuaciones lineales con 4 incognitas b1, b2, m y B que podemos reescribir ordenando convenientemente los distintos términos para facilitar la visión general y la resolución por el método de reducción-sustitución.
$$\begin{eqnarray}
b_1 &+& 0 b_2 &+& \frac{2}{3}m &+& 0 B &=& \frac{2}{3} && \mbox{(ec. 1')} \\
b_1 &+& 0 b_2 &+& m &-& B &=& 0 && \mbox{(ec. 2')} \\
0 b_1 &+& b_2 &-& m &-& B &=& 0 && \mbox{(ec. 3')} \\
0 b_1 &+& b_2 &-&\frac{1}{3}m &+& 0B &= & \frac{4}{3} && \mbox{(ec. 4')}
\end{eqnarray}$$

Vemos que el sistema se reduce rápidamente a un sistema equivalente de 2 ecuaciones con 2 incognitas restando (1') de (2') y (4') de (3'):
$$\begin{eqnarray}
\frac{1}{3}m - B & = & -\frac{2}{3} && \mbox{(ec. 5)} \\
-\frac{2}{3}m - B & = & -\frac{4}{3}  && \mbox{(ec. 6)}
\end{eqnarray}$$

Restando ahora (6) de (5) obtenemos
$$ m = \frac{2}{3}$$
y sustituyendo este valor de m en (6),
$$B = -\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{4}{3} = \frac{8}{9}$$

Lo que ya nos permite afirmar que, para que la bola blanca golpee la roja tras rebotar en la banda derecha, es necesario que impacte la banda en el punto (1; 8/9) y no en (1; 1) como pensaban Jan y Anna. Además, hemos obtenido también el valor de la pendiente m de la recta que representa la trayectoria requerida para la bola blanca. Por consiguiente, el ángulo con el que tiene que incidir la bola sobre la banda derecha para que se realice el tiro deseado es:
$$\alpha = 90º - \arctan{\frac{2}{3}}$$
donde hemos considerado, igual que en la figura 4, que el ángulo de incidencia es el que se mide entre la trayectoria y banda.

Entrenamiento A para el sentido espacial. ¿Has resuelto el problema geométrico del billar?

Casi cualquiera de nosotros a tenido la ocasión de haber jugado alguna vez al billar. Y seguro que lo que parecía fácil, eso de dar un golpe a una bola con un taco para que choque luego con otra, resultó ser mucho más difícil de lo esperado.

Sin embargo, hay algunas cuestiones sobre el billar que se pueden resolver geométrica y matemáticamente sobre el papel y que planteé en mi entrada de blog anterior. ¿Las has resuelto?

En la presente entrada de blog puedes encontrar una forma de resolver las cuestiones de tipo geométrico que no requieren la realización de ningún cálculo (grupo de cuestiones A). La resolución de las cuestiones matemáticas que requieren un cálculo (las del grupo B), podrás encontrarla en la siguiente entrada de blog.

Para situarnos, he aquí un breve resumen del problema a resolver:

Jan a Anna querían prepararse para su segundo encuentro de billar y analizar sobre papel el recorrido de una bola en unos casos sencillos, a fin de entrenar su sentido espacial y conseguir un buen ojo para la dirección de tiro.

Ya saben que la ley física que rige fundamentalmente el juego del billar es la ley de la reflexión, pero les falta resolver lo siguiente:

Grupo de cuestiones A: ¿Cómo puede encontrarse fácilmente, sin ir probando, la dirección de tiro adecuada en los tres siguientes casos de tiro sin efecto, tal como lo podría hacer mentalmente un jugador de billar?

      

         Caso 1 - Tiro a una banda   

       

          Caso 2 - Tiro a dos bandas   

    

         Caso 3 - Tiro a 3 bandas 

¿La dificultad del tiro depende de la elección de las bandas? ¿El tiro a tres bandas es más fácil si se realiza golpeando la bola hacia la banda de abajo? ¿Porqué?

Un posible procedimiento de resolución es el siguiente:

Para empezar, podemos trazar una recta desde la bola blanca hacia un punto arbitrario de la zona central de la banda interna derecha, medir er ángulo entre el recorrido trazado y la superficie interna de la banda y, a continuación, trazar el recorrido de la bola refleja formando un mismo ángulo con la banda. Y es que según la ley de la reflexión, el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia.

Seguramente, la trayectoria que hemos trazado no llega a tocar la bola roja. Tenemos pues que cambiar la dirección del trayecto según el cual se dirige la bola blanca hacia la banda y trazar como antes la correspondiente trayectoria de la bola reflejada.

Fig 4 - Buscando el ángulo de tiro adecuado

Tras variar de forma sistemática el ángulo de incidencia, podemos encontrar finalmente la dirección de tiro adecuada con la que la bola blanca alcanza, tras rebotar, el centro de la bola roja.

Fig. 5 - Ahora lo hemos encontrado.
El recorrido de la bola blanca va hacia el centro de la bola roja.

Pero esta solución no nos satisface. Lo que queríamos era encontrar la dirección de tiro correcta sin tener que ir probando. Nos falta indagar algo más y a ver si se nos ocurre algo mirando bien lo que tenemos hasta ahora....

Seguramente, además de la ley de la reflexión, hemos adquirido algunos conocimientos adicionales de óptica durante las lecciones de física de 1º o 2º de ESO y tal vez nos acordamos también de cómo se forman las imágenes en un espejo plano.

Fig. 6 - Formación de una imagen en un espejo plano

Como puede verse en la figura 6, todos los rayos de luz procedentes de P, que inciden sobre el espejo plano, se reflejan conforme a la ley de la reflexión y como si proviniesen de un punto P' simétrico de P respecto al espejo plano. P' es el punto imagen de P que vemos en el espejo.

Las figuras 5 y 6 parecen muy similares, sobre todo si prolongamos los recorridos divergentes de nuestra bola blanca en la figura 5 y situamos en el punto de convergencia de los recorridos una imagen de la bola blanca:

Fig. 7 - Prolongación hacia atrás de los recorridos divergentes e
imágenes de las bolas al imaginar un espejo en lugar de la banda

Este parecido no es de extrañar. Las dos figuras 5 y 6 son de hecho una ilustración de la ley de la reflexión. Además, el recorrido de una bola es también reversible (roja ha de golpear a blanca) y podemos por tanto imaginarnos también una imagen de la bola roja situada en el punto simétrico de la posición de la bola roja respecto de la banda.

Visto esto, podemos simplificar enormemente la búsqueda de la dirección de tiro adecuada. Lo único que tenemos que hacer es localizar (gráfica o mentalmente) la imagen especular de la bola roja y dirigir la bola blanca en dirección hacia esa imagen para conseguir golpear la bola roja. La siguiente figura lo ilustra en el caso de un tiro a una banda (caso 1):

Fig. 8 - Ilustración de la imagen de la bola roja que se obtendría al colocar un espejo
y de la dirección del tiro a realizar (tras sacar el espejo)

Caso 2:

Para encontrar la dirección de tiro adecuada para un tiro a dos bandas, tenemos que localizar la imagen de la imagen, es decir, la imagen formada por reflexión en la segunda banda de la primera imagen de la bola roja:

Fig. 9 - Ilustración de la imagen de la bola en el caso de dos espejos y
trayectoria que debe realizar la bola blanca en el caso de un tiro a dos bandas

Estas imágenes especulares pueden representarse fácilmente en dos dimensiones, dibujando los puntos simétricos de los puntos representativos (bolas y esquinas de la mesa) respecto de las dos bandas internas (línea vertical que representa la banda lateral derecha vista desde arriba y línea horizontal para la banda lateral superior). Si dibujamos a continuación el recorrido del tiro a dos bandas uniendo la posición de la bola blanca (B) con la imagen de la imagen de la bola roja (R''), obtenemos el siguiente dibujo ilustrativo de un tiro a dos bandas:

Fig. 10 - Dibujo bidimensional de un tiro a dos bandas

En la parte inferior izquierda de la figura 10, se encuentra el área de juego verde de la mesa de billar, en la que hemos representado también la trayectoria que realiza la bola blanca sobre la mesa antes de golpear la bola roja. En la inferior derecha podemos encontrar la imagen especular de la mesa y las bolas respecto de la banda interna derecha (línea vertical central en nuestra vista bidimensional desde arriba). En la parte superior del dibujo, tenemos las imágenes especulares Ba' y Ra' de B y R respecto de la banda interna superior (línea horizontal central) y las imágenes doblemente especulares B'' y R'' que son las imágenes especulares de Ba' y Ra' respecto de la banda interna derecha o también las imágenes especulares de Bd' y Rd' respecto de la banda interna superior.

Esta representación rectilínea del recorrido de la bola en un espacio bidimensional formado por una red rectangular de imágenes especulares resulta también muy útil para analizar gráfica y visualmente las distintas opciones de juego que se tienen en una determinada distribución de las bolas. Esto se manifiesta claramente en el siguiente caso.

Caso 3:

Para determinar la dirección de tiro adecuada para un tiro a tres bandas, utilizaremos el mismo procedimiento gráfico de antes y obtenemos, al unir la posición de la bola blanca B con la de la imagen triplemente reflejada R''', la siguiente trayectoria que debe realizar la bola blanca para alcanzar el centro de la bola roja, en el caso de escoger la banda lateral derecha como primera pared de rebote:

Fig. 11 - Dibujo de un tiro a tres bandas en la red de imágenes especulares

En el rectángulo verde, que representa el área de juego de la mesa de billar, puede verse la trayectoria real cuya imagen especular resultante de la reflexión en los tres espejos (bandas) es la línea recta entre B y R'''.
¿Pero es esta opción la mejor? ¿Podríamos alcanzar más fácilmente la bola roja mediante rebotes en otras tres bandas? Una representación de todas las posibles trayectorias que unen B con las distintas imágenes R''' que se obtienen en la red de imágenes especulares nos facilita la respuesta a estas preguntas.

Fig. 12 - Ilustración del recorrido de la bola en una vista reticular de imágenes especulares.
Los recorridos en azul corresponden a las cuatro variantes de un tiro a 3 bandas,
los recorridos en verde y en rojo, a tiros a una y dos bandas, respectivamente.

La figura 12 nos permite ver qué variantes son más fáciles de realizar. Por ejemplo, en la disposición de bolas en la que nos hemos centrado, la opción de un tiro con rebote en la larga derecha (I) y luego en la corta superior (S) y larga derecha (D) (recorrido azul oscuro) es más difícil de realizar que la variante D-S-L (recorrido azul claro) debido a que es más fácil, en la primera opción, que se confundan las imágenes R''' y R' que uno solo ve mentalmente.
Los dos posibles recorridos a tres bandas que se dirigen hacia abajo (azul medio claro) son realizables en teoría, pero exigen una postura muy incómoda para el jugador que le impediría controlar bien el tiro y aplicar la fuerza requerida.
La figura 12 muestra asimismo que no puede realizarse un tiro a dos bandas I-O (recorrido rojo oscuro) debido a que requiere un ángulo de tiro que coincide, en la disposición de bolas considerada, con la de un tiro directo de la blanca contra la roja.

Todos estos ejemplos demuestran que un sentido espacial bien entrenado para la localización de imágenes especulares constituyen una guía útil para cualquier jugador de billar.

El procedimiento gráfico reticular es muy útil, pero no exacto. Si queremos determinar con exactitud el punto de impacto en una banda y el ángulo de tiro, tenemos que calcular la trayectoria de la bola. Esto lo haremos en la siguiente entrada de blog (entrenamiento B).

Entrenamiento para el sentido espacial - ¿Sabrías resolver este problema de billar?

Fig. 1 - En la sala de billar

Jan y Anna estuvieron ayer en el nuevo centro recreativo y tuvieron allí la oportunidad de conocer mejor el juego del billar.



Se enteraron de que:

• hay varias modalidades de billar para las que se utilizan también distintos tipos de mesa;
• jugar bien al billar requiere habilidad, concentración, un sentido espacial bien desarrollado y práctica;
• unas leyes físicas rigen el movimiento de las bolas; 
• el baile de las bolas puede calcularse matemáticamente.

Las leyes físicas del billar son fundamental y principalmente las siguientes:

• Cuando el taco impulsa una bola tocándola en el centro, entonces ésta se desplaza en línea recta y rebota en las bandas de la mesa como lo haría un haz de luz en un espejo, es decir, el ángulo de rebote es igual al ángulo de incidencia.

Fig. 2 - Ley de la reflexión (*)

• Si, en cambio, el taco no toca la bola en el centro, se crean movimientos de giro adicional entorno a los ejes horizontal o vertical de la bola. La bola puede moverse entonces a lo largo de una trayectoria curva y deja también de cumplir la ley de la reflexión. En este caso, se dice que el tiro se ha hecho con efecto.

* Nota: En física suelen considerarse los ángulos medidos entre las trayectorias incidente o reflejada y la normal al plano (vector perpendicular al plano) ya que esto permite describir también muy bien los casos en los que la superficie reflectora no es plana. En el caso de una buena mesa de billar, las bandas internas, que son nuestra superficie reflectora, son bien planas y nos podemos ahorrar la normal del plano considerando de forma completamente equivalente los ángulos entre trayectorias y banda en lugar de los complementario utilizados en física.

Jan y Anna quieren prepararse para el próximo encuentro de billar y explorar para ello, sobre papel, el movimiento de las bolas en unos casos seleccionados. Sobretodo, lo que quieren es adquirir un buen ojo para elegir adecuadamente la dirección en la que debe golpear el taco el centro de la bola y entender bien lo que les dijo un monitor de billar:

"Un jugador de billar experimentado ve mentalmente una imagen de la bola meta refleja por la banda y apunta con precisión sobre la imagen mental de dicha bola."

Jan y Anna han decidido centrarse por el momento en dos bolas y estudiar tres posibles formas de impulsar sin efecto una bola y hacerla colisionar contra la otra tras rebotar en una o más bandas, pero aún no saben cómo encontrar rápidamente, sin ir probando, la dirección de golpeo adecuada y el punto de impacto correcto en una banda.

Grupo de cuestiones A: ¿Sabrías explicar y mostrar sobre el papel cómo se puede determinar rápidamente (sin ir probando) la dirección de golpeo adecuada en los tres siguientes casos (Fig. 3 a 5)?

Caso 1:

Fig. 3 - Tirada sin efecto a una banda

La bola blanca ha de impactar la bola roja tras rebotar en la banda derecha de la mesa de billar. ¿Pero en qué dirección debe mantenerse el taco para golpear adecuadamente para este fin la bola blanca? ¿Cómo determina un jugador de billar el punto de impacto correcto en la banda lateral derecha?








Caso2:

Fig. 4 - Tirada sin efecto a 2 bandas

La bola blanca ha de alcanzar la bola roja tras rebotar en dos bandas. ¿Cuál es en este caso la dirección de golpeo correcta en la que debe mantenerse el taco?










Caso 3:

Fig. 5 - Tirada sin efecto a 3 bandas

¿Y cuando la tirada ha de realizarse a tres bandas?

¿La dificultad del tiro varía si se escoge como primera banda de rebote la de la izquierda en lugar de la banda derecha y, como segunda y tercera, la banda de abajo y la de la derecha, respectivamente? ¿Porqué?












Grupo de cuestiones B: La posición de las dos bolas en la figura 3 parece simétrica. Jan y Anna deducen por ello que el punto de impacto ideal de la bola blanca debe encontrarse seguramente en la mitad de la banda interna derecha.

¿Sabrías comprobarlo matemáticamente?

Para ello, podrías situar la superficie de juego y las bolas en un sistema de coordenadas rectangular y asignar, por ejemplo, las coordenadas (0,0), (1,0), (0,2) y (1,2) a las cuatro esquinas (v. Fig. 6), ya que una mesa de billar suele medir el doble de largo que de ancho.

Fig. 6 - Mesa de billar con
sistema de coordenadas

Podrás seguir considerando las mismas siguientes condiciones en el modelo matemático:

• La mesa es perfectamente plana y el impacto se realiza siempre en el centro de las bolas por lo que las bolas se desplazan rectilíneamente y rebotan en las bandas según la ley de la reflexión.
• Despreciamos también los efectos del rozamiento entre bolas y mesa, por lo que no tenemos que preocuparnos si se detienen antes de llegar a su meta.
• Los bolas pueden considerarse puntuales ya que nos centramos en colisiones sin efecto.

La forma de resolver el problema y calcular el punto de impacto ideal en la banda x = 1 puede escogerse a discreción (según el nivel de conocimientos matemáticos):

• A partir de 3º de ESO: mediante funciones de primer grado para describir las trayectorias rectas
• A partir de 1º de Bachillerato: opcionalmente mediante ecuaciones vectoriales

¡A disfrutar!

Puedes consultar una solución al grupo de cuestiones A en mi entrada de blog dedicada a presentar un método de resolución gráfico muy útil.
La solución a la cuestión B y los pasos de los cálculos correspondientes podrás encontrarlos en la siguiente entrada de blog.

¿Has resuelto los acertijos para empezar bien el año?

Aquí están las soluciones de los dos acertijos matemáticos de ayer.

1)

Se trata pues de resolver un sistema de ecuaciones pictóricas con cuatro imágenes (variables) festivas que pueden representar buena suerte (estrellas), celebración (copas de cava), buen humor (cara sonriente) y felicidad (corazón). Pero el acertijo no nos pide encontrar el valor asignado a cada una de estas imágenes, sino únicamente el valor resultante de la suma de ellas.

Conviene pues mirar primero con cierto detenimiento estas ecuaciones pictóricas para ver si mediante alguna operación sencilla podemos obtener la ecuación suma buscada.
Y sí, ¡es posible! Lo conseguimos sumando la primera con la tercera ecuación, manteniendo las equivalencias:

La solución del acertijo es pues 18 como casi se podía intuir por la presentación del mismo justo antes de entrar en el año 2018.

Si se ha querido hacer un entrenamiento cerebral más exhaustivo y determinar además el valor asignado a cada una de las imágenes, estas serían las soluciones:
Estrella = 6
Copa = 4
Sonrisa = 3
Corazón = 5

2)

Una forma de resolver este acertijo geométrico consiste en subdividir el triángulo en las siguientes 4 áreas triangulares de mismo tamaño

y ver cómo se subdivide con ellas la parte de color rojo:

Al ser la línea que separa las áreas A y B mediatriz (recta perpendicular a un lado que divide a éste en dos partes iguales) y a la vez mediana (segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto) y altura (perpendicular a un lado y que tiene su extremo en el vértice opuesto) del triángulo de la izquierda, se tiene que A=B, siendo A la mitad de grande que dicho triángulo equilátero izquierdo. 

Además, se deduce del dibujo que las áreas C y D tienen también el mismo tamaño que A.

Puesto que A es la mitad de grande que uno de los 4 triángulos internos y, por tanto, igual a una octava parte del área total T del gran triángulo del Sangaku, tenemos que el área de la parte de color rojo es pues:

Projo = B + C + D + e = 3T/8  +  e

El área e la podemos determinar fácilmente fijándonos en el triángulo equilátero del centro:

Vemos que los trozos e+S forman un triángulo simétrico al triángulo C y que tienen por tanto juntos el mismo área que C o A.
Además, vemos que el vértice interno de S es el punto de intersección de las 3 mediatrices del triángulo equilátero interno, por lo que se situa a un tercio de un lado y dos tercios del vértice opuesto, siendo el área S igual a un tercio del área de dicho triángulo equilátero:

S = 1/3 * T/4 = T/12  (donde T es el área del triángulo del sangaku)

Por consiguiente

e = C - S = T/8 - T/12 

y el área de la parte roja es:

Projo = 3T/8  +  e  = 3T/8 + T/8 - T/12 = 6T/12 - T/12 = 5T/12

Por tanto, la respuesta a la cuestión planteada por el sangaku es: 5/12.

Espero que hayáis disfrutado con estos acertijos matemáticos.

Para empezar bien el nuevo año 2018

Un poco de jogging matemático siempre va bien para estar en forma y empezar además bien el año. Para ello, propongo dos acertijos.
En primer lugar, un acertijo refrescante que ya pueden intentar resolver alumnos de 2º de ESO. Se trata de agudizar la vista matemática para responder a la siguiente pregunta de inicio de año:

Y para estar aún mejor en forma, propongo también un sangaku de inicio de año (sangaku = nombre japonés para designar tablilla matemática) de inicio de año:

Mañana publicaré las soluciones.
¡Buen Año!

Fechas de convocatoria para la Selectividad 2017

¡Ya se han hecho públicas las fechas de convocatoria para las pruebas de selectividad de 2017!

Sin Números

De repente, algo inexplicable ...

Su sorpresa inicial se convierte en angustia cuando descubre que el mundo tal como lo conoce se está colapsando. A través de los medios de comunicación, Sofía es testigo de las terribles consecuencias que tiene que afrontar una sociedad más dependiente de los números de lo que nos podemos imaginar.

Así se presenta el vídeo "Sin números" que acaba de producir un taller de documentales de la Universidad de Zaragoza.

En la presentación del vídeo, se dice también:

Todas esas situaciones dan lugar a un escenario de ciencia-ficción en el que las catástrofes esperables encuentran un desenlace sorprendente, en un documental elaborado por Marta Alcolea Gracia, del Departamento de Ciencias de la Antigüedad, Fernando Almazán Román, del Instituto de Nanociencia de Aragón, Fernando Corbalán Yuste, profesor colaborador extraordinario, del Departamento de Métodos Estadísticos, Álvaro Lozano Rojo, profesor del Centro Universitario de la Defensa Zaragoza; Carlos Mazo Pérez, profesor titular del Departamento de Ciencias de la Antigüedad y María Palmira Vélez Jiménez, profesora Titular del Departamento de Historia Moderna y Contemporánea.

Más información:

• Investigadores de la Universidad de Zaragoza presentan sus documentales científicos
• Página del vídeo

Noticia vista en el blog ZTFNews 

No es tanta casualidad

Verbena de Sant Juan en una playa en Cataluña

Hoy se produce el solsticio de verano y ya pueden oirse los estallidos de algunos petardos, aunque aún no es mediodía. Ya se nota cierto ambiente festivo - a pesar de que aún faltan dos días para la verbena de San Juan - y seguramente no podremos dormir mucho durante esta noche corta y calurosa. Así que seguro que encontraremos algo de tiempo para resolver esta cuestión de lógica y matemática básica. 


Dos mujeres se encuentran en la calle y aprovechan la ocasión para hablar de esto y aquello. Al cabo de un rato, una de ellas dice:

- Oye, me gustaría plantearte una cuestión - es que sé que eres profesora de matemáticas. Resulta que hoy no es sólo el día de solsticio de verano, sino que además un día muy especial para mí. Tres de mis cuatro hijos cumplen hoy años. Podrías decirme la edad que tienen si te digo que al multiplicar las edades de los tres menores se obtiene 36.

- Claro que sí. Pero me tienes que decir algo más sobre tus hijos.

- Tienes razón. Si sumo las edades de mis cuatro hijos, obtengo el número del día de hoy, es decir, 21.

La matemática piensa unos instantes y dice seguidamente:

- Necesito un dato más.
- De acuerdo. No es tanta casualidad.

Os deseo una muy buena entrada en el verano ;-)

(AQUÍ puede encontrarse una respuesta a la cuestión planteada)

Esta entrada participa en la Edición 5.5: Ronald Fisher del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.

Diversión con pasatiempos geométricos en la playa

Ahora que estamos en verano, tenemos una buena ocasión para divertirnos con algo de geometría en la playa. Se pueden hacer unos castillos de arena geométricos muy bonitos, como nos lo demuestra también Calvin Seibert.

http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/

Él los construye a lo largo de todo el año y suele combinar ingeniosamente diversas formas geométricas, pero también hace construcciones llamativas juntando únicamente paralelepípedos de arena bien compactos.

http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/

Al observar estas construcciones o intentar construir unas similares, surgen muchas preguntas que requieren algo de ingenio y ayudan a activar las neuronas mientras uno se divierte. Algunas de ellas son, por ejemplo, estas cuatro:

ACERTIJO 1

Para empezar, pueden hacerse unas construcciones sencillas de arena formadas a partir de la colocación ingeniosa de 6 paralelepípedos de más o menos el mismo tamaño. La colocación tiene que cumplir unas condiciones a la vez que se considerará lo siguiente:

Un paralelepípedo se une a otro para formar otro paralelepípedo u otro cuerpo escalonado más grandes siempre que una cara o parte de la cara de un paralelepípedo entra en contacto con una cara o parte de una cara de otro paralelepípedo. Si se tocan únicamente en una esquina o arista, entonces se considera que los paralelepípedos en cuestión no se unen entresí formando un nuevo cuerpo.

Caso 1: ¿Cómo pueden disponerse 6 paralelepípedos para que cada uno de ellos se una con dos y sólo dos paralelepípedos?

Caso 2: ¿Cómo pueden disponerse 6 paralelepípedos para que cada uno de ellos se una con tres y sólo tres paralelepípedos?
Caso 3: ¿Cómo pueden disponerse 6 paralelepípedos para que cada uno de ellos se una con cuatro y sólo cuatro paralelepípedos?

ACERTIJO 2

En la figura siguiente puede verse un paralelepípedo grande formado a partir de 6 paralelepípedos (cubos, si las aristas tienen todas la misma longitud) pequeños de arena. La pieza entramada de la esquina se construyó en primer lugar poniendo en contacto cuatro cubos de arena. Esta primera pieza puede haberse formado de 2 formas. ¿Cuáles son?

ACERTIJO  3

En los cuerpos platónicos se cumple una relación matemática entre número de esquinas E, número de caras C y número de aristas A.

Cuerpos platónicos

Esta relación se cumple de hecho también en otros cuerpos geométricos como, por ejemplo, paralelepípedos, prismas, pirámides, etc. 

¿Qué expresión matemática tiene esta relación entre esquinas, caras y aristas?
¿Se cumple también en un cuerpo con forma de escalera como el que se ilustra a continuación (o como en el que se puede ver en el castillo de arena de la primera fotografía)?

ACERTIJO 4

Se tienen únicamente dos cubos de plástico para coger y dosificar la arena necesaria: uno de tres litros y otro de cuatro litros. 

Sin embargo, se necesita disponer ahora de exactamente 1 litro de arena para construir un cubo de 10cm de arista. ¿Es posible conseguirlo con estos dos cubos? Y si es posible, ¿cómo?
Es decir, ¿qué habría que hacer para llegar a tener exactamente 1 litro de arena en uno de estos cubos de plástico?

(ver soluciones)

Física en la piscina

Aquí una pregunta de física diaria para estos días tan calurosos de agosto, en los que apetece nadar o estar muy cerca del agua:

Un grupo de niños y niñas está divirtiendose en la pequeña piscina casi circular de aproximadamente 5 metros de diámetro. Han puesto a flotar en ella un pequeño bote inflable, lo han llenado con 40 piedras pesadas, se han subido al bote y, tras muchas risas, han empezado a tirar las piedras en la piscina. Uno de ellos se quedó fuera de la piscina y se quedó todo sorprendido mirando la superficie del agua.

¿Porqué? ¿Cómo varía el nivel del agua?
¿Cuándo es más alto? Cuándo las piedras están en el bote o cuando están en el fondo de la piscina?

Si tras pensar en el efecto del desplazamiento de agua por bote, niños y piedras, en el principio de Arquímedes y el efecto del empuje, quieres comprobar también experimentalmente como se comporta el nivel, pero no quieres llenar la piscina con piedras o no tienes ninguna piscina pequeña a tu disposición, puedes hacer un experimento similar con un vaso (si es graduado, mejor) u otro recipiente lleno de agua (representan la piscina), un tapón de plástico suficientemente hondo para que no se llene de agua al cargarlo (representa el bote) y una, dos o tres monedas (representan las piedras más pesadas o densas que el agua).

¿Te ha sorprendido el resultado del experimento?
o ¿acertaste con la respuesta antes de realizar el experimento?

Aquí puedes encontrar unos cálculos que respaldan y explican lo observado.

Nota: esta pregunta de física diaria es un ejemplo de pregunta curiosa que plantean a veces los seleccionadores en una entrevista de trabajo para poner a prueba el ingenio y rapidez mental de los postulantes.

Retazos de física viendo los mundiales de natación

Se está celebrando ahora el XV campeonato mundial de natación en Barcelona: un buen momento para plantearse algunas ideas sobre la física en la natación.

La natación es una actividad deportiva que se desarrolla a través de la interacción del nadador con el agua y esta interacción puede analizarse físicamente considerando básicamente los siguientes aspectos:
- el empuje que posibilita la flotación y que actúa en sentido vertical y hacia arriba;
- la propulsión que empuja el cuerpo hacia delante y que se consigue moviendo adecuadamente los brazos y las piernas;
- la resistencia del agua que actúa en contra del avance del cuerpo.

EL EMPUJE

Las personas podemos conseguir fácilmente flotar sobre la superficie del agua gracias a la fuerza de empuje que aparece cuando se sumerge un cuerpo en un fluido (líquido o gas). Un cuerpo flota cuando su peso P es igual en magnitud al empuje E. Si, en cambio el peso del cuerpo es superior al empuje (P>E), el cuerpo baja hasta el fondo, es decir, se hunde. Según el principio de Arquímedes, la fuerza de empuje E, que actúa hacia arriba, es igual en magnitud al peso del volumen de fluido (agua) desalojado por el cuerpo:

E = DA·VAD· g

(densidad del agua por volumen de agua desalojada (= volumen de la parte del cuerpo sumergida en agua) por la constante de atracción de la tierra)

El peso, que actúa hacia abajo, viene dado según la segunda ley de Newton por:

P = m·g = DC·VC· g

(densidad media del cuerpo por volumen total del cuerpo por constante de atracción de la tierra)
Por consiguiente, el cuerpo flota a un nivel en el que desplaza exactamente el agua suficiente para que:     E (fuerza de empuje ascendente) = P (fuerza peso descendente)

Las densidades juegan por tanto un papel clave: si el cuerpo tiene una densidad media menor a la del agua (DA= 1000kg/m3 si es agua dulce y ~1025kg/m3 si es agua salada), flotará en la superficie, porque su peso es menor que el del agua desplazada por todo su volumen. Esto se cumple generalmente en el caso del cuerpo humano (densidad media ~ 970kg/m3). No obstante, l@s nadador@s que tienen huesos más pesados y una capacidad de aire contenido menor, al tener una densidad corporal mayor, se hunden algo más en el agua, aunque siguen flotando, y esto es una desventaja en las competiciones de natación.
Para una buena utilización del empuje y mejorar la velocidad al nadar y el aguante, la posición del cuerpo en el agua es también decisiva. Hay que tener aquí en cuenta que hay dos puntos de aplicación de fuerza: el centro de gravedad (CG) y el centro de flotación (CF).
El centro de gravedad CG, que representa la posición media de toda la masa del cuerpo y es el punto de aplicación de la fuerza de gravedad o peso, se encuentra en el ser humano, cuando está en posición recta y con los brazos pegados a los costados, aproximadamente a la altura del ombligo debido a que la zona de las piernas tiene una mayor densidad que la de los pulmones llenos de aire. Una característica del centro de gravedad es que si, por ejemplo, se coloca verticalmente debajo de él una cuña de balanceo, el cuerpo se mantiene en equilibrio porque el peso está ditribuido equitativamente a los dos lados de la vertical (véase la siguiente imagen).
El centro de flotación CF es el centro de gravedad del volumen del líquido desplazado (igual al volumen de la parte sumergida del cuerpo) que coincide con el centro geométrico del volumen (por ser la densidad uniforme en todo este volumen de agua desplazada) y es el punto de aplicación de la fuerza de empuje ascendente. En el ser humano flotando en agua, su posición se encuentra en una posición más próxima al centro del pecho.

Cuando el centro de gravedad y flotación no se encuentran sobre la misma línea de aplicación vertical (casos a y b en la figura), se produce un movimiento rotatorio con el que se hunden más las piernas (parte más pesada del cuerpo) hasta que el centro de gravedad y el de flotación se hallan en la vertical (caso d).
Pero se nada mal y avanza muy poco cuando las piernas cuelgan hacia abajo (en esta posición se aumenta la resistencia del agua).
Para evitar el hundimiento de las piernas, se recomienda respirar abdominalmente y no torácicamente para desplazar así el centro de flotación más hacia el nivel del ombligo. Otra forma para conseguir una flotación más horizontal consiste en estirar los brazos por encima de la cabeza, consiguiéndose así que el centro de gravedad se acerque más al centro del pecho y coincida casi con el centro de flotación (caso d), anulándose por tanto prácticamente la tendencia al giro.

PROPULSIÓN Y RESISTENCIA

Para avanzar en el agua, el deportista tiene que empujar agua para "rebotar" en sentido opuesto. Es decir, tiene que hacer uso del principio de acción y reacción descrito por la tercera ley de Newton. Con la realización de unos movimientos de brazos y piernas según una técnica de natación optimizada, puede conseguir que éstos le proporcionen la máxima propulsión con la menor resistencia posible. En la natación a braza, por ejemplo, tiene que moverse de forma que la fuerza que ejerce sobre el agua sea máxima cuando desplaza los brazos hacia atrás y mínima cuando los vuelve a estirar hacia delante para poder volver a empujar hacia atrás en la siguiente brazada.

Movimiento de brazos y piernas en la natación a braza

Esto lo consigue orientando transversalmente las palmas de sus manos con respecto a la dirección de desplazamiento y poniéndolas en forma de cuchara cuando las desplaza enérgicamente hacia atrás (fase de tirón). En cambio, en la fase de recobro o retorno, debe procurar que la superficie frontal de manos y brazos sea la mínima posible para que la resistencia del agua y el frenado sean lo más pequeños posibles.

Posición de manos para reducir la resistencia en la fase de recobro

Para disminuir la resistencia del agua y su efecto de frenado, pueden tomarse de hecho distintas medidas según el tipo de resistencia::

Para minimizar la resistencia por rozamiento, que depende de la estructura superficial del cuerpo en movimiento y que se origina por el agarre de particulas de agua a la superficie del nadador, puede utilizarse un gorro de baño o optarse por el rasurado de la cabeza, utilizarse un traje de baño de baja fricción e incluso someterse a un afeitado corporal.

Las resistencias de forma y al flujo, que depende de la forma del cuerpo y de los remolinos de agua que se forman al final del cuerpo y actúan en contra del sentido de avance, pueden disminuirse con movimientos y posturas apropiados. 

Mediante los movimientos optimizados para los distintos estilos de natación se generan de hecho también efectos de empuje hidrodinámicos que facilitan el desplazamiento en el agua.

Más sobre el tema:
- Flotación y estabilidad, Recursos para escolares de Planetseed.com
- Biomecánica de la natación. Klaus Reischle. Ed. Gymnos. Madris 1993

Ingenio matemático con aire acondicionado al 100%

La noche está al caer y tres jóvenes viajeros deciden parar en el primer Motel que ven y que aún tiene habitaciones libres. ¡Tiene además aire acondicionado en todas las habitaciones!

El precio para una habitación de tres camas es de 90 € por noche.
Como sólo van a quedarse una noche, cada uno paga sus 30 € por adelantado y se retiran luego directamente a la habitación porque están cansados y piensan partir al día siguiente a primera hora de la mañana.
Al cabo de un rato, el propietario del motel se da cuenta que el precio de la habitación para ese día de la semana es de sólo 85 €. Coge 5 € de la caja y pide a su ayudante que los devuelva a los tres huéspedes. El ayudante se da no obstante cuenta de que no se pueden repartir equitativamente cinco euros entre tres personas y decide por tanto que lo mejor es darles sólo tres euros.
Los tres jóvenes han pagado así pues finalmente 30-1= 29 € cada uno, o sea, 87 € en total. El ayudante del motel se quedó con 2 €, esto hace 87+2= 89 €.
¡Pero al principio se pagaron 90 € y no 89 €!
¿Dónde está el euro que falta?

Nota: esta anécdota con pregunta sorpresa es un ejemplo de pregunta curiosa que plantean a veces los seleccionadores en una entrevista de trabajo para poner a prueba el ingenio y rapidez mental de los postulantes.
Solución

Hasta donde alcanza la vista

Ya estamos en verano y con las vacaciones escolares se han multiplicado también las ocasiones de disfrutar del contacto con la naturaleza y de elucubrar sobre pequeños y grandes enigmas que nos rodean....

Cuando paseaba esta madrugada por el parque agrícola de Collserola (Sant Cugat del Vallés, Barcelona) hice unas pocas fotos ........

Campo de trigo junto a la entrada de Sant Cugat del Vallés al parque de Collserola

y me plantee la pregunta de cuán lejos podría estar el horizonte que distinguía a simple vista al estar en medio de un campo llano en el que no hay elementos que ocultan su visión (árboles, edificios, etc.) ni condiciones atmosféricas adversas (niebla, calima, luuvia, etc.) y de cómo variaría el alcance de la vista si mirase el horizonte desde un mirador o posición de observación más elevada.

Unas vistas muy bonitas sobre el horizonte se tienen desde luego también cuando se está junto al mar o en un velero, siempre y cuando las condiciones atmosféricas sean lo suficientemente buenas.

Cap Roig en la Costa Brava

Una respuesta aproximada a estas preguntas puede deducirse partiendo del bien conocido teorema de Pitágoras.
Aquí un dibujo colorista que he hecho para ilustrarlo mejor:

La tierra no es una esfera perfecta, pero para una estimación aproximada del alcance de nuestra vista hasta el horizonte podemos considerar aceptablemente que tiene un radio medio de 6370 km.

En el triángulo rectángulo del dibujo (el ángulo entre x y r es de 90º):

x es el alcance de la vista o distancia hasta el horizonte

r es el radio medio de la tierra

r + s  es la distancia del observador al centro de la tierra y

s la altura de observación (altura de los ojos con respecto al suelo terrestre

Según el teorema de Pitágoras:                 x² + r² = (r + s)²

que despejando da:                                       x² = 2rs + r² = 2rs + s² = (2r + s) s

Al ser el radio de la tierra mucho mayor que la altura de observación, podemos despreciar su contribución a la suma escrita entre paréntesis, por lo que:                  

                                                                     x² ≈ 2rs = 12.740 * s

Por consiguiente, el alcance de la vista hasta el horizonte (o distancia geométrica hasta el horizonte) puede calcularse mediante la siguiente fórmula muy sencilla:

                                                             x [en km] ≈ 113 * √¯s [en km]
                                                             x [en km] ≈ 3,57 * √¯s [en m]

Para un observador de s = 1,70 m = 0,0017 km de altura, la distancia hasta el horizonte que alcanza ver cuando las condiciones atmosféricas son buenas es de aprox. 4,6 km. Si lo observase desde una plataforma de 30 m de altura (las plataformas de observación en los veleros tienen en promedio una altura s = 0,03 km), entonces el alcance de su vista hasta el horizonte sería ya, según la fórmula, de casi 20 km.

No se han considerado en esta primera aproximación efectos de refracción atmosférica que según las condiciones climatológicas pueden modificar en un factor más o menos grande el alcance de la visión. En el mundo de la náutica, suelen considerarse frecuentemente aplicando un factor de corrección promedio a la fórmula arriba indicada.

Cuando se está junto al mar o se viaja en barco puede observarse también que a veces sólo pueden verse las superestructuras de un barco lejano y no todo su cuerpo o sólo los picos de la montaña de una isla, porque el resto queda como por debajo del horizonte, como ilustra el siguiente dibujo:

¿Qué distancia máxima puede haber entonces desde un punto de observación de s metros de altura hasta la cima de una montaña de altura b que se alcanza observar sobre el horizonte de un paraje llano? ¿Hay también una fórmula sencilla que permita determinar aproximadamente esta distancia en ausencia de perturbaciones atmosféricas y efectos ópticos de refracción? 

Visión del perfil montañoso de Mallorca desde el observatorio  Fabra de Collserola, Barcelona (413 m)
Foto de Alfons Puertas Castro, tomada el 7 de dic. de.2010 hacia las 14 horas